In der Mathematik fasst man häufig mehrere Indizes zu einem einzigen Multiindex zusammen. Formal gesehen ist ein Multiindex ein Tupel von natürlichen Zahlen oder Null.
Verallgemeinert man Formeln von einer Variable auf mehrere Variablen, so ist es aus notationstechnischen Gründen meist sinnvoll, die Multiindexschreibweise zu verwenden. Ein Beispiel wäre, eine Potenzreihe mit einer Veränderlichen auf Mehrfachpotenzreihen umzuschreiben. Multiindizes werden häufig in der mehrdimensionalen Analysis und Theorie der Distributionen verwendet.
Konventionen der Multiindex-Schreibweise In diesem Artikel seien jeweils ein Multiindex, das heißt ein -Tupel von natürlichen Zahlen oder Null. Wir vereinbaren die folgenden Konventionen:
wobei die Koordinatenfunktionen von bezeichnet. ist der Differentialoperator der Ordnung , der aus den partiellen Ableitungen zusammengesetzt ist.
Anzahl von Multiindizes
Es gibt verschiedene Multiindizes der Größe in Variablen oder homogene Monome vom Grade in kommutierenden Variablen.
Dies sieht man am Binomialkoeffizienten in Der Koeffizient ist die Anzahl von Möglichkeiten, Plätze mit Symbolen und die restlichen Plätze mit Symbolen zu belegen.
Diese Anzahl ist richtig, unabhängig davon was und ist. Sie gilt für die Zahl von Zeichenketten, in denen die Trennzeichen zwischen Symbolen ist, wobei der Index die Zahl der Trennzeichen auf der linken Seite von plus 1 ist. Jede solche Zeichenkette, beispielsweise , entspricht einem Monom, hier mit dem Multiindex . Es gibt in 4 Variablen Multiindizes der Größe 4.
Anwendungsbeispiele Potenzreihe Eine Mehrfachpotenzreihe lässt sich kurz schreiben als .
Potenzfunktion Sind Multiindizes in , so gilt und .
Falls nicht , falls also eine Komponente von negativ ist, so ist
Geometrische Reihe Für gilt , wobei ist.
Binomischer Lehrsatz Sind und ist , so gilt
bzw. .
Multinomialtheorem Für und ist
bzw. , was sich kurz (aber lesefehleranfällig) schreiben lässt als .
Leibniz-Regel Ist und sind -mal stetig differenzierbare Funktionen, so gilt
beziehungsweise . Diese Identität heißt Leibniz-Regel.
Cauchy-Produkt Für Mehrfachpotenzreihen gilt .
Sind Potenzreihen einer Veränderlichen, so gilt , wobei ist.
Exponentialreihe Für gilt .
Binomische Reihe Sind und sind alle Komponenten von betragsmäßig , so gilt .
Vandermondesche Konvolution Ist und sind , so gilt .
Ist und , so gilt .
Cauchysche Integralformel In mehreren Veränderlichen lässt sich die cauchysche Integralformel
kurz schreiben als
,
wobei sein soll. Ebenso gilt die Abschätzung , wobei ist.
Taylor-Reihe Ist eine analytische Funktion oder eine holomorphe Abbildung, so kann man mit Hilfe eines Entwicklungspunktes oder in einer Taylorreihe
darstellen.
Hurwitz-Identität Für mit und gilt .
Dies verallgemeinert die Abelsche Identität .
Letztere erhält man im Fall .
Literatur Otto Forster: Analysis. Band 2: Differentialrechnung im Rn. Gewöhnliche Differentialgleichungen. 7. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2006, ISBN 3-8348-0250-6 (Vieweg Studium. Grundkurs Mathematik). Konrad Königsberger: Analysis. Band 2. 3., überarbeitete Auflage. Springer-Verlag, Berlin u. a. 2000, ISBN 3-540-66902-7.
Kategorie:Mathematik