Eine Càdlàg-Funktion (auch Cadlag) ist eine spezielle reellwertige Funktion, die beispielsweise in der Stochastik angewendet wird. Dabei ist Càdlàg ein französisches Akronym ( „rechtsseitig stetig, mit Grenzwerten von links“). Teils findet sich auch die aus dem englischen abgeleitete RCLL (). Analog spricht man auch von Càglàd-Funktionen (oder Làdcàg-Funktionen) (continue à gauche, limite à droite).
Definition
mini| Verteilungsfunktionen sind Beispiele für Càdlàg-Funktionen
Sei ein polnischer Raum wie beispielsweise . Eine Funktion
heißt Càdlàg-Funktion, wenn für alle die Funktion in rechtsseitig stetig ist und der linksseitige Grenzwert in existiert und endlich ist. Càglàd-Funktion, wenn für alle die Funktion in linksseitig stetig ist und der rechtsseitige Grenzwert in existiert und endlich ist.
Der Raum aller Càdlàg-Funktionen auf einem Intervall wird oft mit bezeichnet.
Raum der Càdlàg-Funktionen Der Raum der Càdlàg-Funktionen lässt sich mit verschiedenen Metriken oder Topologien ausstatten:
mit der primitiv durch die Supremumsnorm induzierten Metrik erhält man einen nicht-separablen Banachraum. mit bestimmt gewählten Metriken lassen sich die Skorochod-Topologien , , oder induzieren, wobei der Raum dann Skorochodraum genannt wird. mit der durch die stochastische Mechanik nach Edward Nelson motivierte Meyer-Zheng-Topologie. mit der -Topologie nach Adam Jakubowski.
Anwendungen in der Stochastik
Die Verteilungsfunktion einer reellen Zufallsvariablen ist stets eine Càdlàg-Funktion.
Ein stochastischer Prozess wird càdlàg genannt, wenn fast sicher jeder Pfad an jeder Stelle rechtsseitig stetig ist und dort die linksseitigen Grenzwerte existieren. Ein Beispiel dafür sind Poisson-Prozesse.
Literatur
Weblinks
Eintrag zum Skorokhod-Raum (archiviert) und zur Skorochod-Topologie (archiviert) in der Encyclopaedia of Mathematics Eintrag zur Skorochod-Topologie im Lexikon der Mathematik
Einzelnachweise
Kategorie:Analysis Kategorie:Stochastischer Prozess