Ein Riesz-Raum ist ein Vektorraum mit einer Verbandsstruktur, die so beschaffen ist, dass die lineare und die Verbandsstruktur im Sinne der unten gegebenen Definition verträglich sind. Im Jahr 1928 wurde dieser Raum von Frigyes Riesz definiertRiesz, Frigyes: Sur la décomposition des opérations fonctionelles linéaires, Atti congress. internaz. mathematici (Bologna, 1928), 3, Zanichelli (1930) pp. 143–148 und trägt deshalb heute seinen Namen.

Definition Sei ein -Vektorraum mit einer Halbordnung .

Dann heißt ein Riesz-Raum wenn folgende Axiome erfüllt sind:

1. (Translationsinvarianz) Für alle gilt: . 2. (Monotonie der Skalarmultiplikation) Für alle und alle gilt: . 3. ist ein Verband, das heißt für alle existieren und .

Das Supremum notiert man als und das Infimum als .

Weitere Begriffe Für eine Menge ist und . Für ein Element definiert man den positiven und negative Teil und . Der Modulus von ist definiert als . Zwei Elemente sind disjunkt wenn für ihre Moduli gilt. Sei eine beliebige Menge und , dann definieren wir , das heißt die Menge der zu disjunkten Elemente. Eine Teilmenge ist vollständig wenn impliziert das , das heißt es gilt . Eine Teilmenge ist solide oder normal, falls für jedes und ein beliebiges mit auch gilt. Die Menge nennt man das von generierte Band. Für eine einelementige Menge nennt man das Prinzipalband.

Anmerkungen 1. und 2. bedeuten ist ein geordneter Vektorraum. Bei der Formulierung von 2. ist zu beachten, dass sich sowohl auf als auch auf bezieht, aus dem Zusammenhang ist meistens klar, welche Ordnungsrelation gemeint ist, so dass üblicherweise auf zusätzliche Indizes verzichtet wird. 2. lässt sich auch durch die schwächere Forderung und ersetzen. Bezeichnen die Verbandsoperationen, so ist es Konvention, dass stärker binden, als (Klammerregel).

Erste Eigenschaften Für und gelten folgende Rechenregeln: und und und Sei für . Dann gilt und . und und Dies bedeutet jeder Riesz-Raum ist ein distributiver Verband.

Beispiele Die reellen Zahlen mit der üblichen Anordnung bilden einen Riesz-Raum. Der mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. Die Menge der reellen Zahlenfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. Die Menge der reellen Nullfolgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. Für ist mit komponentenweiser Anordnung ein Riesz-Raum. Die Menge der beschränkten reellen Folgen mit komponentenweiser Anordnung bildet einen Riesz-Raum. Die Menge der stetigen Funktionen auf einem Intervall bildet mit punktweiser Anordnung einen Riesz-Raum. Die Menge der stetig differenzierbaren Funktionen auf einem Intervall bildet einen geordneten Vektorraum mit der punktweisen Anordnung, aber keinen Riesz-Raum.

Integrationstheorie Riesz-Räume bieten Voraussetzungen für eine abstrakte Maß- und Integrationstheorie. Die zentrale Aussage in diesem Zusammenhang ist der Spektralsatz von Freudenthal. Dieser Satz garantiert für Riesz-Räume auf abstrakte Weise die Approximationseigenschaft von Funktionen durch Treppenfunktionen. Der Satz von Radon-Nikodým und die Poissonsche Summenformel für beschränkte harmonische Funktionen auf der offenen Kreisscheibe sind Spezialfälle des Spektralsatzes von Freudenthal. Dieser Spektralsatz war einer der Ausgangspunkte für die Theorie der Riesz-Räume.

Verbandsnorm und Banachverbände Eine Norm auf einem Riesz-Raum heißt Verbandsnorm, wenn gilt, dass wenn , auch folgt, dass . Ein Riesz-Raum mit einer Verbandsnorm nennt man normierter Riesz-Raum. Ist er vollständig bezüglich der Verbandsnorm, dann nennt man ihn einen Banachverband.

Einzelnachweise

Literatur Luxemburg, W.A.J. & Zaanen, A.C.: "Riesz spaces", North-Holland, 1971, ISBN 978-0444866264

Kategorie:Vektorraum Kategorie:Funktionalanalysis