Die Mereologie (von griechisch μέρος meros ‚Teil‘) ist ein Teilgebiet der Ontologie und der angewandten Logik und befasst sich mit dem Verhältnis zwischen Teil und Ganzem, dessen Untersuchung die gesamte Philosophiegeschichte begleitet.

Entwickelt wurde die moderne Mereologie im Kontext der Debatte um die Grundlegung der Mathematik. Dabei stellt sie auch einen alternativen Ansatz zur heute weitgehend akzeptierten Mengenlehre dar.

Topologische Begriffe wie Rand und Zusammenhang lassen sich mit mereologischen Mitteln untersuchen, woraus die Mereotopologie entsteht. Anwendungen finden sich im Bereich der künstlichen Intelligenz bei der Wissensrepräsentation.

Geschichte

Eine erste mereologische Betrachtung finden wir in Platons Dialog Parmenides, in welchem Parmenides Sokrates die Schwierigkeiten, etwas als Eines zu bestimmen, auseinandersetzt.

Vor dem Aufkommen der Mengenlehre wurde in Mathematik und Metaphysik eher beiläufig über Teil und Ganzes nachgedacht. So beschäftigte sich z. B. Edmund Husserl im Zweiten Band seiner Logischen Untersuchungen von 1901 eingehend mit dem Verhältnis von Teil und Ganzem – dies ohne formale Mittel. Grundlegende Definitionen und Sätze sind dort aber bereits zu finden. So führte er bspw. bereits einen vollständigen Transitivitätsbeweis für die von ihm verwendete Teilbeziehung. Seine Ergebnisse wendete Husserl anschließend auf grammatikalische Problemstellungen an.Edmund Husserl: Untersuchungen zur Phänomenologie und Theorie der Erkenntnis. Zweiter Band. Erster Teil. 1901. Ursula Panzer (Hrsg.): Text der 1. und der 2. Auflage ergänzt durch Annotationen und Beiblätter aus dem Handexemplar. Martinus Nijhoff Publishers, The Hague 1984, S. 267–269.Lothar Ridder: Mereologie. Ein Beitrag zur Ontologie und Erkenntnistheorie. Klostermann, Frankfurt am Main 2002, S. 1.

Bereits einige Jahre zuvor entstanden aber auch formale Arbeiten zu dieser Thematik, die allerdings in eine andere Richtung gingen: So entwickelten Georg Cantor und später auch Gottlob Frege gegen Ende des 19. Jahrhunderts die ersten Grundzüge der modernen Mengenlehre. Erklärtes Ziel dieser Arbeiten war weniger die reine Beschäftigung mit Teil-Ganzes-Beziehungen, als die Suche nach einem System, auf dem die damalige Mathematik aufbauen könnte. Diese – noch nicht axiomatisierte – Theorie machte zwar einen wichtigen Schritt in Richtung einer formalen Basis der Mathematik, warf aber noch grundlegende Probleme auf: So entdeckte Bertrand Russell 1902 bei der Betrachtung der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Element enthalten einen Widerspruch in dieser ersten Theorie. Dieser Widerspruch wird heute als Russellsche Antinomie bezeichnet und trug dazu bei, dass die Mengenlehre zunächst auf wenig Anerkennung stieß. Vielmehr hatte Russell deutlich gemacht, dass für eine widerspruchsfreie Mengenlehre ein Axiomensystem nötig war.Peter Schroder-Heister: Mengenlehre. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 5: Log-N. Metzler, Stuttgart 2013, S. 330–331.

Einen damals wenig beachteten Vorschlag in diese Richtung machte der polnische Mathematiker Stanisław Leśniewski. Als Reaktion auf das Russellsche Problem entwickelte er Anfang des 20. Jahrhunderts „eine allgemeine Theorie der Klassen und Mengen“,Lothar Ridder: Mereologie. Ein Beitrag zur Ontologie und Erkenntnistheorie. Klostermann, Frankfurt am Main 2002, S. 19. die er anfangs noch als allgemeine Mengenlehre bezeichnete, später aber in „Mereologie“ umbenannte. Ziel seiner Arbeiten war eine alternative Grundlegung der Mathematik, um den genannten Widerspruch zu umgehen. Dazu verzichtete er auf die Einführung von abstrakten Mengen, die sich auf einer anderen Ebene als die Elemente selbst befinden. Stattdessen betrachtete er Teil und Ganzes als „Gegenstände derselben ontologischen Kategorie“,Frank Krickel: Teil und Inbegriff. Bernard Bolzanos Mereologie. Academia, Sankt Augustin 1995, S. 291–292. nämlich als konkrete Gegenstände.

Um dies zu formalisieren, stellte er ein eigenes logisches System auf, das eine grundlegend andere Herangehensweise darstellt, als die bisher verwendeten Kalküle. Neben der Tatsache, dass Leśniewski seine Ergebnisse ausschließlich in polnischer Sprache veröffentlichte, trug auch die geringe Bekanntheit dieses Systems dazu bei, dass seine Theorie anfangs keine große Verbreitung erlangen konnte. So publizierte er zwischen 1916 und 1931 mehrere Arbeiten zu seiner Mereologie, letztlich konnte sich aber das parallel entwickelte axiomatisch-mengentheoretische ZF-System von Ernst Zermelo und Abraham Fraenkel als allgemein anerkannte Grundlage der Mathematik durchsetzen.Lothar Ridder: Mereologie. Ein Beitrag zur Ontologie und Erkenntnistheorie. Klostermann, Frankfurt am Main 2002, S. 66.

Dennoch wurden mereologische Ansätze weiterverfolgt. So formulierten die Philosophen Henry S. Leonard und Nelson Goodman 1940 Leśniewskis Ansatz in klassischer Prädikatenlogik erster Stufe und forschten auch darüber hinaus zu diesem Thema.Peter Simons: Parts. A Study in Ontology. Clarendon, Oxford 1987, S. 146–147.Kuno Lorenz: Mereologie. In: Jürgen Mittelstraß (Hrsg.): Enzyklopädie Philosophie und Wissenschaftstheorie. Band 5: Log-N. Metzler, Stuttgart 2013, S. 342.

In jüngerer Zeit wurden mereologische Themen in der Metaphysik verstärkt aufgegriffen. Bekannte Autoren sind Peter Simons, Peter van Inwagen und David Lewis. Einige bekannte Probleme und Positionen werden im Abschnitt Metaphysik näher behandelt.

Obwohl außerhalb der Fachliteraturen über Metaphysik und künstliche Intelligenz selten erwähnt, beschäftigte sich der Philosoph David Lewis in seinem 1991 erschienenen Werk Parts of Classes mit Mereologie.

Axiomatisierung klassischer mereologischer Systeme

Seit Leśniewskis erster formaler Beschreibung einer Mereologie wurden viele weitere Ansätze in ähnliche Richtungen unternommen. Der britische Philosoph Peter Simons hat vier grundlegende Eigenschaften herausgearbeitet, die jede Theorie über echte Teil-Ganzes-Beziehungen erfüllen bzw. fordern muss. Da es zum grundlegenden Verständnis nicht unbedingt nötig ist, wird hier auf eine genauere Darstellung der vierten Eigenschaft („Falsehood“) verzichtet. Die folgenden Notationen folgen grob Simons Darstellungen in seinem Buch Parts. A Study in Ontology.

Damit eine Theorie über Mereologie – und ganz allgemein über logische Überlegungen – eindeutig notiert werden kann, ist es hilfreich einige Zeichen zu definieren. Mit Hilfe dieser Symbole können Eigenschaften und Bedingungen der Theorie einfacher dargestellt werden. Die Symbole für die Konjunktion (), Disjunktion (), den Folgepfeil (), den Allquantor (), den Existenzquantor (), die Identität (), sowie die Negation () werden dabei als bekannt vorausgesetzt.

Zunächst definieren wir eine echte Teilbeziehung oder -relation. Mit soll ausgedrückt werden, dass ein echter Teil von ist. Der Zusatz „echt“ schließt aus, dass und identisch sind. Dies impliziert direkt die erste Eigenschaft, die Simons als „Asymmetrie“ bezeichnet:

In Worten: Wenn ein echter Teil von ist, dann ist nicht ein echter Teil von .

Die zweite Eigenschaft fordert, dass die Relation transitiv ist, also:

In Worten: Wenn ein echter Teil von ist und ein echter Teil von ist, dann ist auch ein echter Teil von .

Für die dritte Eigenschaft definieren wir zunächst, wann sich und überlappen. Dies ist offensichtlich der Fall, wenn und identisch sind, oder wenn ein echter Teil von ist, oder wenn ein echter Teil von ist, oder wenn es ein gibt, das ein echter Teil von und von ist. In Symbolen ergibt sich:

Diese Eigenschaft wollen wir mit bezeichnen. Damit können wir die letzte Forderung formulieren, die Simons als Ergänzung („Supplementation“) bezeichnet:

Neben jedem echten Teil von muss es also noch einen weiteren echten Teil geben, der mit dem ersten nicht überlappt.Peter Simons: Parts. A Study in Ontology. Clarendon, Oxford 1987, S. 9–18 und S. 362.Frank Krickel: Teil und Inbegriff. Bernard Bolzanos Mereologie. Academia, Sankt Augustin 1995, S. 291–294.

Mithilfe dieser Zeichen, Definitionen und Axiome können mereologische Überlegungen exakt und präzise dargestellt werden, so dass mögliche Fehler und Ungenauigkeiten schnell entdeckt werden können. So können sie dabei helfen, komplizierte Theorien unmissverständlich darzustellen. Allerdings haben solche formalen Systeme auch Grenzen: Gerade ungewöhnliche neue Theorien werden häufig erst verständlich, wenn die Formeln mit Worten ausgedrückt – wie hier auch geschehen – oder mit Beispielen veranschaulicht werden.

Metaphysik

Neben den formalen Fragen nach einer Axiomatisierung und dem Vergleich verschiedener Ansätze existieren in der Metaphysik noch andere Problemstellungen. Die fraglichen Objekte sind in diesem Zusammenhang zusammengesetzte Objekte (häufig auch „komplexe Objekte“ oder „komplexe Substanzen“ genannt). Wann setzen Objekte sich zu etwas zusammen? Wann sind zwei zusammengesetzte Objekte identisch? Und ganz allgemein, was ist Zusammensetzung?

Über diese und weitere Fragen soll nun ein kleiner Überblick gegeben werden. Da noch keines dieser Themen eine erschöpfende und allseits akzeptierte Analyse erfahren hat, können hier lediglich die Grundproblematiken und einige populäre Lösungsvorschläge vorgestellt werden, ohne jeglichen Anspruch auf Korrektheit oder Widerspruchsfreiheit.

Die Frage nach der Zusammensetzung

Der Begriff „Zusammensetzung“ scheint auf den ersten Blick klar: Mehrere (kleinere) Teile setzen ein (größeres) Ganzes zusammen, so wie z. B. eine Schulklasse aus ihren Schülern besteht oder ein Fußball aus den einzelnen Flicken, die miteinander vernäht sind. Doch so simpel solche Beispiele erscheinen, so kompliziert wird der Begriff bei einer genaueren Analyse. So stellt der deutsche Philosoph Johannes Hübner die Frage nach der Zusammensetzung folgendermaßen: „Unter welchen Bedingungen bilden verschiedene Substanzen eine komplexe Substanz?“Johannes Hübner: Komplexe Substanzen. de Gruyter, Berlin 2007, S. 1–3. (Vergleiche damit auch die weiter unten vorgestellte „Special Composition Question“ von van Inwagen) Offensichtlich scheinen wir bereits ein intuitives Alltagsverständnis (im Englischen häufig auch „common sense“ genannt) von komplexen Objekten zu besitzen. So entscheiden wir üblicherweise, dass die Schüler ihre Klasse zusammensetzen, das Reichstagsgebäude in Berlin und die Hamburger Elbphilharmonie gemeinsam aber kein komplexes Objekt zusammensetzen. An welchen Kriterien wir diese Unterscheidung festmachen, scheint aber nicht mehr so einfach benennbar.

Allgemein gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, auf diese Frage zu antworten. Drei bekannte Hauptpositionen, die nachstehend genauer beschrieben werden, sind nach Johannes Hübner die folgenden:

Der mereologische Nihilismus oder Atomismus. Das Prinzip der uneingeschränkten Summenbildung (Mereologischer Universalismus). Moderate Mischpositionen, die komplexe Substanzen in bestimmten Fällen annehmen und in anderen leugnen.

Mereologischer Nihilismus

Die erste Antwort leugnet die Existenz von komplexen Substanzen. Keine Substanzen bilden unter welchen Bedingungen auch immer eine komplexe Substanz. Die offensichtliche Diskrepanz zwischen dieser Position und unserem Alltagsverständnis wird häufig folgendermaßen gelöst: Wenn wir in unserer Alltagssprache von einem – so denken wir fälschlicherweise – zusammengesetzten Objekt sprechen, meinen wir tatsächlich eine Ansammlung von mereologischen Atomen, die in der dem Objekt entsprechenden Weise, angeordnet sind. Ein Wohnhaus ist also nichts anderes als hausartig angeordnete mereologische Atome.