mini|350px|Beispiel für Einfeldträger mit Auflagerreaktionen
Der Einfeldträger oder auch Träger auf zwei Stützen ist das einfachste statische Element. Er ist das Grundelement vieler Brücken und Gebäude und wird in der Technischen Mechanik häufig als Übungsbeispiel verwendet.
Der Träger ist statisch bestimmt. Unter Belastung entstehen in den beiden Lagern je drei Auflagerreaktionen. Die Auflagerkräfte können ohne aufwändige Rechenverfahren ermittelt werden.
Äußere Kräfte Lasten äußere Kräfte , usw. äußere Momente , usw. Streckenlast
Auflagereaktionen vertikale Auflagerreaktion in Auflager A (Festlager; Gelenklager) horizontale Auflagereaktion in Auflager A vertikale Auflagerreaktion in Auflager B (Loslager; Rollenlager) horizontale Auflagerreaktion in Auflager B (verschwindet, da reibungsfrei beweglich gelagert)
Innere Kräfte (Schnittgrößen) Normalkraft im Balken Querkraft im Balken Moment im Balken
Gleichgewichtsbedingungen Alle äußeren Lasten und alle Auflagerkräfte sind im Gleichgewicht. Summe aller Vertikalkräfte: z. B. Summe aller Horizontalkräfte: z. B. Summe aller Momente: z. B.
In den drei Formeln sind drei Unbekannte , , enthalten, die nach mathematischen Regeln lösbar sind. Allerdings ist dabei die jeweilige Vorzeichenfestlegung strikt zu beachten; so sind hier und in der oberen Skizze positiv: vertikale Kräfte von oben nach unten (, ) horizontale Kräfte von links nach rechts (, ) rechtsdrehende Momente (, ).
Maximales Biegemoment bei Gleichlast mini|Gleichlast, System und Momentenlinie Als maximales Biegemoment eines Einfeldträgers mit Gleichlast ergibt sich:
+Formelsymbole maximales Biegemoment in Feldmitte in kN•m Streckenlast in kN/m Stützweite des Trägers in m
Obige Formel ist die exakte Lösung für den gelenkig gelagerten Einfeldträger mit Gleichlast; die Momentenlinie M(x) bildet dabei immer eine Parabel, s. u. Mit dieser Formel lassen sich auch viele andere statische Systeme in guter Näherung (auf der sicheren Seite) berechnen, daher wird sie gern für Überschlagsrechnungen ohne EDV-Unterstützung verwendet.
Herleitung:
Aus den Summenformeln für horizontale und vertikale Kräfte ergibt sich:
Die x-Achse wird in diesem Fall von links und in A beginnend angenommen:
Das Maximalmoment ist immer an der Stelle, wo die erste Ableitung der Momentenlinie null ist. Diese erste Ableitung von M(x) nach x ergibt:
Nullsetzen der Formel ergibt einen x-Wert für die Stelle des lokalen Maximums:
Durch Einsetzen dieses Wertes in M(x) erhält man:
Parabelstich mini|Belastung, System und Momentenlinie Die obige Formel kann ebenfalls dazu verwendet werden, den Parabelstich zu ermitteln, wenn neben einer Gleichlast auch einzelne Lasten auftreten (Knick in der Momentenlinie).
Siehe auch Balkentheorie Statische Berechnung
Literatur
Kategorie:Träger (Statik)