Die Euler’schen Kreiselgleichungen oder uneindeutig Euler’schen Gleichungen sind Bewegungsgleichungen für die Rotation eines starren Körpers. Es sind die Komponenten des für den Starrkörper in seinem Hauptachsensystem aufgeschriebenen Drallsatzes und stellen die wichtigste Grundgleichung der Kreiseltheorie dar.
Wird der Körper einem Drehmoment ausgesetzt, entwickeln sich Kreiselwirkungen, die versuchen, die Eigendrehung mit der erzwungenen Drehung in Deckung zu bringen. Die Kreiselwirkungen sind die summierten Drehmomente der Eulerkräfte und Zentrifugalkräfte an allen Massenpunkten des Körpers. Das Moment und die Kreiselwirkungen befinden sich im dynamischen Gleichgewicht, was die Kreiselgleichungen ausdrücken:
Darin sind jeweils für die von außen angreifenden Drehmomente, die Hauptträgheitsmomente, die Drehimpulse, die Winkelgeschwindigkeiten und die Winkelbeschleunigungen im Hauptachsensystem. Gelegentlich wird auch die dazu gehörige Vektorgleichung
mit dem Trägheitstensor als Euler’sche Kreiselgleichung angegeben. Hier bildet „·“ die Vektortransformation, „ד das Kreuzprodukt und die relative Zeitableitung im Hauptachsensystem.
Die Drehmomente, Hauptträgheitsmomente und Drehimpulse werden mit einem Bezugspunkt berechnet, für den sich der Massenmittelpunkt oder ein unbeschleunigter, in einem Inertialsystem ruhender Stützpunkt eignen, siehe Drallsatz am starren Körper.
Die ersten Summanden auf den rechten Seiten, bestehend aus den Winkelbeschleunigungen und Drehimpulsänderungen, resultieren aus den Kreiselwirkungen der Euler-Kräfte und die anderen, in den Winkelgeschwindigkeiten und Drehimpulsen quadratischen Terme berücksichtigen die Kreiselwirkungen der Zentrifugalkräfte. Wenn die Bewegung bekannt ist, dann können aus diesen Gleichungen die Momente berechnet werden, die im Bezugspunkt eingeleitet werden müssen, damit der Körper die vorgegebene Bewegung ausführt.
Die Kreiselgleichungen wurden von Leonhard Euler 1750 aufgestellt und später zum Drallsatz weiterentwickelt.
Herleitung mini|200px|Zur Herleitung der Eulerschen Kreiselgleichungen Das zweite newtonsche Gesetz besagt, dass ein Massepunkt P mit infinitesimaler Masse dm am Ort Datei:Vec r.svgP im Starrkörper durch eine infinitesimale äußere Kraft dDatei:Vec F.svg gemäß
Datei:Vec a.svgP dm ＝ dDatei:Vec F.svg
beschleunigt wird, wo Datei:Vec a.svgP den zum Kraftvektor parallelen Beschleunigungsvektor des Massepunkts angibt, siehe Bild. Das Kreuzprodukt mit dem Differenzvektor Datei:Vec r.svgBP zu einem körperfesten Punkt B und Integration über den Körper liefert das äußere Moment um B
Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec a.svgP dm ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × dDatei:Vec F.svg ＝: Datei:Vec M.svg(B)
denn die inneren Kräfte sind dem Drallsatz zufolge momentenfrei.
Mit der Winkelgeschwindigkeit Datei:Vec om.svg des Starrkörpers berechnet sich die Geschwindigkeit
Datei:Vec v.svgBP ＝ Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP ＝ Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgSP
wo S der Massenmittelpunkt des Starrkörpers ist. Es folgt
| Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec a.svgP dm | ＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − Datei:Vec v.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm
| ＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − Datei:Vec v.svgBP × (Datei:Vec v.svgB + Datei:Vec v.svgBP) dm
| ＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − Datei:Vec v.svgBP × Datei:Vec v.svgB dm
| ＝ (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm)· − (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB dm − (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgSP) × Datei:Vec v.svgB dm
Integration über den Körper liefert:
| Datei:Vec M.svg(B) | ＝ Datei:Intgl.svg (Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP)· dm − Datei:Intgl.svg (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB dm − Datei:Intgl.svg (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgSP) × Datei:Vec v.svgB dm
| ＝ Datei:Difft.svgDatei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm − (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB Datei:Intgl.svg dm − (Datei:Vec om.svg × Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgSP dm) × Datei:Vec v.svgB
wo die im Starrkörper konstanten Größen aus den Integralen herausgezogen wurden. Das erste Integral auf der rechten Steite liefert den Drehimpuls des Körpers um B und Datei:Difft.svg seine Zeitableitung. Im zweiten Term ergibt das Integral die Masse m des Körpers und das Integral im letzten Term verschwindet per Definition des Schwerpunkts S. Damit lautet der Drallsatz um B
Datei:Vec M.svg(B) ＝ Datei:Difft.svgDatei:Vec L.svg(B) − m (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBS) × Datei:Vec v.svgB
Der Subtrahend verschwindet in zwei bedeutsamen Fällen: Wenn Datei:Vec v.svgB ＝ Datei:Vec 0.svg und der Bezugspunkt B ruht, oder wenn Datei:Vec r.svgBS ＝ Datei:Vec 0.svg und der Massenmittelpunkt S als Bezugspunkt B gewählt wird.
Mit der Zerlegung Datei:Vec v.svgP ＝ Datei:Vec v.svgB + Datei:Vec v.svgBP ＝ Datei:Vec v.svgB + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP schreibt sich der Drehimpuls um B
| Datei:Vec L.svg(B) | ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgP dm ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec v.svgB + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm
| ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × Datei:Vec v.svgB dm + Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm
| ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP dm × Datei:Vec v.svgB + Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm
Wenn B ruht oder im Massenmittelpunkt liegt, verschwindet wieder der erste Term, und mit der Graßmann-Identität und dem dyadischen Produkt „⊗“ formt sich der zweite Term um zu
| Datei:Vec L.svg(B) | ＝ Datei:Intgl.svg Datei:Vec r.svgBP × (Datei:Vec om.svg × Datei:Vec r.svgBP) dm
| ＝ Datei:Intgl.svg [(Datei:Vec r.svgBP · Datei:Vec r.svgBP) Datei:Vec om.svg − (Datei:Vec r.svgBP · Datei:Vec om.svg) Datei:Vec r.svgBP] dm
| ＝ Datei:Intgl.svg [(Datei:Vec r.svgBP · Datei:Vec r.svgBP) 1 − Datei:Vec r.svgBP ⊗ Datei:Vec r.svgBP] dm · Datei:Vec om.svg
| ＝: Θ(B) · Datei:Vec om.svg
Darin ist 1 der Einheitstensor (1 · Datei:Vec om.svg ＝ Datei:Vec om.svg) und Θ(B) der Trägheitstensor des Körpers bezüglich B. In einem körperfesten Bezugssystem ê1,2,3 sind beim Starrkörper die Komponenten des Trägheitstensors (die Trägheitsmomente und Deviationsmomente) unveränderlich und schreibt sich bezüglich ê1,2,3 die Zeitableitung des Drehimpulses mit der relativen Zeitableitung Datei: D dtr.svg, von der Θ(B) unberührt bleibt:
Datei: difft.svg Datei: Vec L.svg(B) ＝ Datei: D dtr.svg Datei: Vec L.svg(B) + Datei: Vec om.svg × Datei: Vec L.svg(B) ＝ Θ(B) · Datei: D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei: Vec om.svg × (Θ(B) · Datei:Vec om.svg)
Die relative Zeitableitung der Winkelgeschwindigkeit ist gleich ihrer Zeitableitung, denn mit
Datei:Vec om.svg ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi êi
ergibt sich
| Datei:Vecomp.svg | ＝ Datei:Sum over i from 1 to 3.svg êi Datei: difft.svgωi + Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi Datei: difft.svgêi ＝ Datei: D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi Datei:Vec om.svg × êi
| ＝ Datei: D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Vec om.svg × Datei:Sum over i from 1 to 3.svg ωi êi ＝ Datei: D dtr.svgDatei:Vec om.svg + Datei:Vec om.svg × Datei:Vec om.svg ＝ Datei: D dtr.svgDatei:Vec om.svg
Alles zusammen genommen zeigt für raumfestes B oder B ＝ S
Datei:Vec M.svg(B) ＝Datei: VecLp.svg(B) ＝ Θ(B) · Datei:Vecomp.svg + Datei: Vec om.svg × (Θ(B) · Datei:Vec om.svg)
Im Hauptachsensystem hat der Trägheitstensor Diagonalgestalt, sodass dort zwischen den Komponenten der Winkelgeschwindigkeit und des Drehimpulses (sowie deren Raten) Proportionalität besteht
Lj ＝ Θj ωj für j=1,2,3
woraus sich die Euler’schen Kreiselgleichungen in der eingangs angegebenen Form ableiten.
Spezialfälle Euler-Poisson-Gleichungen
Die Euler-Poisson-Gleichungen sind die spezifischen Kreiselgleichungen für den schweren Kreisel, bei dem das äußere Moment von der Schwerkraft herrührt. Die klassische Kreiseltheorie ist fast ausschließlich dem schweren Kreisel mit Stützpunkt gewidmet und es wurde viel Aufwand in das Auffinden exakter Lösungen gesteckt. Eine Auflistung einiger dieser Lösungen findet sich im Hauptartikel.
Kugelkreisel Ein Kugelkreisel ist ein Kreisel mit drei identischen Hauptträgheitsmomenten Θ, sodass sich die Kreiselgleichungen dann auf
reduzieren. Die Winkelbeschleunigung ist beim Kugelkreisel also parallel zum angreifenden Moment. Beim Kugelkreisel sind die Fliehkräfte im Körper immer im mechanischen Gleichgewicht. Ein Vergleich mit den Bewegungsgleichungen bei einer Translationsbewegung zeigt, dass der Kugelkreisel das genaue Analogon des Massenpunkts bei Rotationsbewegungen ist.
Ebene Bewegungen Bei einer ebenen Bewegung um eine Hauptträgheitsachse, beispielsweise die 3-Achse, entfallen Drehungen und Momente um die 1- und 2-Achsen, und die Gleichungen reduzieren sich auf
wobei φ der Drehwinkel um die 3-Achse ist.
Lösungen der Kreiselgleichungen bei ebenen Bewegungen Im ebenen Fall sind die Kreiselgleichungen oftmals analytisch lösbar, wofür die beiden folgenden Fälle Beispiele sind.
Anstoß einer Billardkugel mini|Abb. 1: Anstoß einer Billardkugel parallel zur Tischplatte Parallel zur Tischplatte soll eine Billardkugel mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ so angestoßen werden, dass sie nicht über den Tisch rutscht, siehe Abb. 1. Es stellt sich die Frage, in welcher Höhe h über der Platte die Kraft F eingeleitet werden muss, damit für das schlupflose Rollen keine Reibkraft am Tisch notwendig ist.
Die exzentrisch an der Kugel angreifende horizontale Kraft entwickelt ein Moment um den Massenmittelpunkt, das die Kugel gemäß der Kreiselgleichung
in Drehung versetzt. Das Moment ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ wirkt. Außerdem beschleunigt die Kraft die Kugel gemäß dem Gesetz „Kraft gleich Masse mal Beschleunigung“:
Die Beschleunigung ist parallel zum Tisch in Richtung der Kraft. Die Bedingung für schlupfloses Rollen
schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten h, φ und x ab. Damit berechnet sich
Die Kraft muss demnach im Stoßmittelpunkt angreifen, damit die Kugel schlupflos rollt. Bei einer massiven homogenen Kugel ist das Massenträgheitsmoment Θ = mr² und somit
wobei d = 2r der Durchmesser der Kugel ist.
Ein eine schiefe Ebene hinabrollendes Rad mini|Abb. 2: Ein eine schiefe Ebene hinab rollendes Rad. In einer ebenen Bewegung rolle ein Rad mit Radius r, Masse m und Massenträgheitsmoment Θ eine mit dem Winkel α geneigte Ebene unter Einfluss einer Schwerebeschleunigung g hinab, siehe Abb. 2. Weil sich das Rad dabei auch translatorisch bewegt, geht auch seine Masse in die Beschleunigung ein. Die Beschleunigung wächst jedoch, wenn das Massenträgheitsmoment abnimmt.
Aufgrund des schlupflosen Abrollens entsteht am Aufstandspunkt des Rades eine Reibkraft R, die das Rad in Drehung versetzt, denn es entspricht einem Moment M=-r R um den Massenmittelpunkt. Das Moment ist negativ, weil es entgegen der Zählrichtung des Drehwinkels φ arbeitet. Damit lautet die Kreiselgleichung im ebenen Fall:
Die auf das Rad hangabwärts wirkende Komponente F der Gewichtskraft mg hat die Größe F=mgsin(α). Ihr entgegen steht die Reibkraft, sodass nach dem zweiten newtonschen Gesetz gilt:
worin die hangabwärts zählende Beschleunigung des Rades und sin die Sinusfunktion ist. Die Bedingung für schlupfloses Rollen schließt das Gleichungssystem für die drei Unbekannten R, φ und x ab und es ergibt sich
Ein hangabwärts, reibungsfrei rutschender Klotz erfährt die Beschleunigung , die größer ist als die des Rades, denn beim Rad wird ein Teil der potentiellen Energie in Rotationsenergie umgesetzt, die dann für die Translation fehlt.
Beispiel: Fliehkraftpendel