In der Mathematik ist eine Jacobische elliptische Funktion oder auch Jacobische Amplitudenfunktion eine von zwölf speziellen elliptischen Funktionen. Die Jacobischen elliptischen Funktionen haben einige Analogien zu den trigonometrischen Funktionen und finden zahlreiche Anwendungen in der mathematischen Physik, bei elliptischen Filtern und in der Geometrie, insbesondere für die Pendelgleichung und die Bogenlänge einer Ellipse. Carl Gustav Jakob Jacobi führte sie um 1830 ein. Carl Friedrich Gauß hatte jedoch schon 1796 mit dem lemniskatischen Sinus und Kosinus zwei spezielle Jacobische Funktionen untersucht, seine Notizen darüber aber nicht veröffentlicht. Für die allgemeine Theorie der elliptischen Funktionen spielen heute jedoch weniger die Jacobischen als vielmehr die Weierstraßschen elliptischen Funktionen eine Rolle.
Die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen Es gibt zwölf Jacobische elliptische Funktionen, von denen sich neun aus drei grundlegenden Funktionen bilden lassen. Gegeben sei ein Parameter , der elliptische Modul, der der Ungleichung genügt. Er wird oft auch als angegeben, wobei , oder als modularer Winkel , wobei . Daneben werden oft die sogenannten komplementären Parameter sowie verwendet. Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen sind dann der Sinus amplitudinis , der Cosinus amplitudinis , das Delta amplitudinis .
Sie sind elliptische Funktionen und haben dementsprechend zwei Perioden. Die Null- und Polstellen sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Funktion Perioden Nullstelle Polstelle
Alle weiteren Null- und Polstellen ergeben sich durch Translationen um , wobei und ganze Zahlen sind.
Hierbei hängen die reellen Zahlen und mit dem Parameter über die elliptischen Integrale
zusammen.
Speziell für ergeben die drei grundlegenden Jacobischen Funktionen die von Gauß eingeführten lemniskatischen Sinus- und Kosinusfunktionen wie folgt:
Für die Grenzfälle und ergeben die Jacobi-Funktionen die (nichtelliptischen) trigonometrischen Funktionen bzw. Hyperbelfunktionen:
Funktion k = 0 k = 1
Die kartesische oder algebraische Form der grundlegenden Jacobi-Funktionen eines komplexen Arguments lauten:
Für rein imaginäre Argumente gilt daher:
Definitionen
Grundlegende Informationen
322px|mini|Hilfskonstruktion Es gibt mehrere äquivalente Definitionen der Jacobischen Funktionen. Die meisten dieser Definitionen basieren auf unendlichen Summen oder Produkten von Kombinationen aus dem vollständigen elliptischen Integral erster Art und trigonometrischen Funktionen. Die namentlichen Bezeichnungen mit dem Wort amplitudinis als Genitiv des lateinischen Wortes amplitudo basieren auf der Tatsache, dass die drei Hauptfunktionen einmal der Sinus, einmal der Kosinus und einmal der Differentialquotient der Jacobischen Amplitude sind. Die Kürzel aus jeweils zwei Buchstaben beziehen sich auf die abgebildete Hilfskonstruktion, ein Rechteck mit den Ecken s, c, d und n.
Abstrakte Definition als spezielle meromorphe Funktionen
Gegeben seien als freie Parameter der elliptische Modul mit und die wie oben davon abhängenden reellen Zahlen und mit
Ferner sei ein Rechteck mit den Seitenlängen und in der komplexen Ebene mit den Ecken gegeben, dessen Ecke im Ursprung liege. Die Seiten der Länge seien dabei parallel zur reellen Achse, die der Länge parallel zur imaginären Achse. Die Ecke sei der Punkt der Punkt und der Punkt auf der imaginären Achse. Die zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen bilden sich dann aus einer Buchstabenkombination , wobei und jeweils einer der Buchstaben sind.
Eine Jacobische elliptische Funktion ist dann die eindeutig bestimmte doppelt-periodische meromorphe Funktion, die folgende drei Eigenschaften erfüllt: Die Funktion hat bei eine einfache Nullstelle und bei eine einfache Polstelle. Die Funktion ist periodisch in Richtung , wobei die Periode die doppelte Entfernung von nach ist. Ähnlich ist periodisch in den beiden anderen Richtungen, jedoch mit einer Periode, die dem Vierfachen der Entfernung von zu dem anderen Punkt entspricht. Wird die Funktion um den Eckpunkt in eine Laurentreihe entwickelt, so lautet der führende Term einfach (mit dem Koeffizienten 1), der führende Term der Entwicklung um den Punkt ist , und der führende Term der Entwicklung um die beiden anderen Eckpunkte ist jeweils 1.
Definition durch Umkehrfunktionen elliptischer Integrale Die obige Definition als eindeutige meromorphe Funktion ist sehr abstrakt. Äquivalent kann eine Jacobische elliptische Funktion als Umkehrfunktion eines unvollständigen elliptischen Integrals erster Art definiert werden. Dies ist die übliche und vielleicht verständlichste Definition. Es sei ein gegebener Parameter mit . Dann ist die Jacobi-Amplitude definiert durch . Als Spezialfälle dieser Gleichung erhält man und , wobei wie oben die Viertelperiode bezeichnet.
Die ersten drei Jacobischen elliptischen Funktionen und sind gegeben durch
, auch geschrieben, heißt Delta-Amplitude oder Delta amplitudinis. Diese Bezeichnung drückt aus, dass es sich um die Ableitung (den Differentialquotienten) der Jacobi-Amplitude handelt.
Die anderen neun Jacobischen elliptischen Funktionen werden aus diesen drei grundlegenden gebildet, siehe weiter unten.
Weitere Darstellungsformen
Darstellung durch Nevillesche Thetafunktionen
Äquivalent lassen sich die Jacobischen elliptischen Funktionen auch mithilfe der Nevilleschen Thetafunktionen , , und definieren:
Entsprechend lauten die Definitionsgleichungen für die weiteren neun Funktionen, die weiter unten erwähnt werden.
Darstellung durch Jacobische Thetafunktionen
Die drei grundlegenden Jacobischen elliptischen Funktionen können folgendermaßen durch Jacobische Thetafunktionen ausgedrückt werden:
mit , , und
Darstellung durch die Jacobische Zetafunktion
Auch die Jacobische Zetafunktion kann zur Definition der Jacobifunktionen und verwendet werden:
Der Grenzwert dieses Bruchs für gegen 0⁺ ergibt den Kreissinus. Und der Grenzwert dieses Bruchs für gegen 1 ergibt den Tangens hyperbolicus.
Sukzessiv wird der Cosinus amplitudinis dann so definiert:
Wichtiger Hinweis für die Grenzwertbildung:
Jedoch gilt:
Darstellung durch Reihen
Die Funktionen , und können folgendermaßen durch Fourierreihen ausgedrückt werden:
mit , , und
Darstellung durch unendliche Produkte
Die Funktionen , und lassen sich auf folgende Weise als unendliche Produkte darstellen:
mit , , und
Die weiteren Jacobi-Funktionen
Üblicherweise werden die Kehrwerte der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen durch die Umkehrung der Buchstabenreihenfolge bezeichnet, also:
Die Verhältnisse der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen werden durch den jeweils ersten Buchstaben des Zählers und des Nenners bezeichnet, also:
Verkürzt können wir also schreiben
wobei und drei verschiedene der Buchstaben sind.
Die Funktionsnamen der zwölf Jacobischen elliptischen Funktionen beziehen sich auf die oben erwähnte Hilfskonstruktion. Der erste Buchstabe gibt die Lage der Nullstelle an, der zweite die Lage der Polstelle.
Die Perioden, Null- und Polstellen sind in der folgenden Tabelle angegeben.
Funktion Perioden Nullstelle Polstelle
Alle weiteren Null- und Polstellen ergeben sich durch Translationen um , wobei und ganze Zahlen sind.
Eigenschaften
Quadratische Beziehungen
Ähnlich wie bei den trigonometrischen Funktionen gibt es zahlreiche Identitäten zu den Quadraten der Funktionswerte. Unter anderem gilt:
ist der komplementäre Modul, es gilt also .
Additionstheoreme
Bemerkung: Aus Gründen der Übersichtlichkeit wird in diesem Abschnitt der Parameter weggelassen. , usw.
Die Additionstheoreme der grundlegenden Jacobi-Funktionen , und lauten:
Folgerungen
Aus den Additionstheoremen lassen sich Formeln für verdoppelte Argumente herleiten.
Zusammenhang mit den elliptischen Kurven
Die Jacobi-Funktionen genügen den beiden algebraischen Beziehungen
Somit parametrisieren eine elliptische Kurve, die die Schnittmenge der beiden durch die obigen Gleichungen definierten Quadriken darstellt. Mit den Additionstheoremen lässt sich für die Punkte auf dieser Kurve eine „Addition“ definieren, welche die Eigenschaften einer Gruppe erfüllt.
Modultransformationen Landensche Transformation Die Jacobi-Funktionen eines Moduls können stets durch Jacobi-Funktionen eines anderen Moduls dargestellt werden, welcher mit dem ursprünglichen Modul elliptisch verwandt ist. Zwei elliptische Module a und b sind genau dann miteinander elliptisch verwandt, wenn sie folgende Formel erfüllen:
In der Ausdrucksform der elliptischen Lambdafunktion sind somit die elliptischen Module λ*(w) und λ*(v²w) mit v ∈ ℚ\0 miteinander elliptisch verwandt.
Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(4w):
Somit gilt auch:
Außerdem gilt diese Summentransformation:
Transformation der Kubizierung vom Nomen Transformation mit der Modulzuordnung λ*(w) ↦ λ*(9w):
Die Funktion stellt den Bagisschen Thetaquotienten für die Stufe n = 3 dar. Es gilt grundsätzlich:
Für die genannte Stufe n = 3 gilt außerdem speziell diese Formel:
Sie wurden von dem griechischen Mathematiker Nikolaos Bagis erforscht. Er führte für diese Funktionen die Bezeichnung mit dem Buchstaben M ein. So gebrauchte er diese Bezeichnung beispielsweise in abgewandelter Form in seinem Werk The complete evaluation of Rogers Ramanujan and other continued fractions with elliptic functions und in weiteren Aufsätzen.
Rechenhinweise:
Werte der Jacobi-Funktionen
Werte im Ursprung {| class = "wikitable"
Weitere Funktionswerte Für Argumente der Form mit lassen sich die Funktionswerte , und mithilfe der Additionstheoreme auf die Werte der folgenden Tabelle zurückführen:
{| class = "wikitable"
Dabei ist .
Werte für die Halbierung von K {| class = "wikitable"
Werte für die Dreiteilung von K Für die Bestimmung der Amplituden-Funktionswerte vom Drittel des K-Integrals ist eine quartische Gleichung zu lösen, welche den biquadratisch radikalen Ausdruck aus einem kubisch radikalen Ausdruck bezüglich des Moduls liefert:
Ableitungen und Differentialgleichungen
Bemerkung: Im Folgenden wird der Parameter als gegeben betrachtet und dementsprechend weggelassen.
Die Ableitungen der drei grundlegenden elliptischen Jacobi-Funktionen lauten:
Aus den obigen Additionstheoremen folgt, dass die genannten Funktionen für gegebenes mit Lösungen der folgenden nichtlinearen Differentialgleichungen sind:
löst und löst und löst und
Angegeben sind jeweils eine Differentialgleichung 1. Ordnung und eine Differentialgleichung 2. Ordnung.
Stammfunktionen
In dieser Liste werden für reelles die unbestimmten Integrale der drei grundlegenden Jacobi-Funktionen genannt:
Für den Modul wird vorausgesetzt.
Produkte des Sinus amplitudinis In der Theorie der elliptischen Funktionen haben Sinus-amplitudinis-Produkte eine große Bedeutung. Denn elliptisch verwandte Werte der elliptischen Lambdafunktion stehen generell in folgendem Zusammenhang:
Für alle natürlichen Zahlen n ∈ ℕ ist diese Formel gültig. Im nun Folgenden wird die Berechnung einiger Sinus-amplitudinis-Produkte exemplarisch erläutert:
Dreiteilung:
Gegeben sei:
Dann löst x diese Gleichung:
Die Abfolge der Vorzeichen vor den Koeffizienten ist antisymmetrisch.
Fünfteilung:
Gegeben sei:
Dann löst x diese Gleichung:
Die Abfolge der Vorzeichen vor den Koeffizienten ist auch antisymmetrisch.
Wichtige exemplarische Funktionswerte Beispiele über den lemniskatischen Modul λ*(1) Fünfteilungswerte:
Die Jacobischen Funktionswerte für den Modul sind exakt die lemniskatischen Funktionswerte. Die Funktion Cosinus amplitudinis cn entwickelt sich durch Einsetzen dieses Moduls und durch Stauchung um den Faktor der Quadratwurzel aus Zwei zum Cosinus lemniscatus cl:
Die oben genannten Gleichungen sechsten Grades sehen für den lemniskatischen Modul so aus: