Produktregel

Die Produktregel oder Leibnizregel (nach Gottfried Wilhelm Leibniz) ist eine grundlegende Ableitungsregel. Mit ihr wird die Ableitung eines Produktes von Funktionen aus den Ableitungen der einzelnen Funktionen berechnet. In Lagrange-Notation lautet die Produktregel

Der Vorteil dieser Regel liegt darin, dass es im Allgemeinen einfacher ist, die Ableitungen beider Faktoren separat zu berechnen, als jene des gesamten Produkts auf einmal.

Zum Beispiel kann mit der Produktregel die Ableitung der Funktion schnell berechnet werden, wenn die Ableitungen der Faktoren und schon bekannt sind, die sich als sowie berechnen lassen mithilfe der Ableitungsregeln elementarer Funktionen. Für den Fall, dass eine der beiden Funktionen konstant ist, geht die Produktregel in die einfachere Faktorregel über.

Neben ihrer Bedeutung für explizite Berechnungen hat die Produktregel auch theoretische Konsequenzen. Der hinter ihr stehende mathematische Satz besagt, dass Differenzierbarkeit, also die Eigenschaft von Funktionen, eine Ableitungsfunktion zu haben, stabil unter Produktbildung ist. Wenn also Funktionen und (in einem Punkt) differenzierbar sind, dann auch ihr Produkt .

Das Analogon hinsichtlich Addition ist die Summenregel und das Analogon hinsichtlich der Division ist die Quotientenregel.

Im Rahmen der Integralrechnung kann die Produktregel dazu verwendet werden, die partielle Integration herzuleiten. Ähnlich wie die Integration gemäß dem Fundamentalsatz der Analysis als Umkehroperator der Differentiation gesehen werden kann, entspricht die partielle Integration dem Umkehroperator der Produktregel.

Einführende Erklärung mini|350px|Graphische Darstellung der Approximation von durch . Letztere ist die Tangente von an der Stelle . Durch dieses Prinzip kann der Normalparabel an der Stelle die „Steigung“ 2 zugeordnet werden.

Ist eine Funktion in einem Punkt differenzierbar, so ist es möglich, sie in diesem Bereich relativ gut durch eine lineare Funktion anzunähern. Der Vorteil daran ist, dass man Begriffe wie Steigung, also das Maß, um wie viel Einheiten sich ein Vorgang ändert, wenn man den Eingabewert verändert, für lineare Funktionen verstanden hat. Indes ist es zu Beginn nicht klar, wie zum Beispiel die Steigung einer Funktion wie im Punkt zu begreifen ist. Durch die Annäherung mittels einer linearen Funktion, quasi als gedankliche Hilfestellung, kann man aber den Begriff der Steigung auch auf Kurven, also nicht-lineare Vorgänge, ausweiten. Die Steigung am Punkt einer Kurve entspricht dann per Definition der Steigung der linearen Funktion, welche die Kurve dort am besten annähert, aber die Steigung einer linearen Funktion ist wegen der Gradlinigkeit des Schaubildes gut verstanden. Auf diese Weise können auch komplizierten, nicht-linearen Vorgängen lokale Veränderungsraten zugeordnet werden. Dieser Vorgang entspricht dem Kerngedanken der Differentialrechnung.

Der Gedanke hinter der Produktregel fußt nun wiederum auf einem einfachen Mechanismus. Sind zum Beispiel die Funktionen und separat im Punkt im Sinne der Differentialrechnung gut verstanden, können sie durch lineare Funktionen und für fast gleich 0 angenähert werden. Dabei haben die Näherungen, wie man aus der Erfahrung mit linearen Funktionen weiß, die Steigungen bzw. . Das Prinzip der Differentialrechnung ordnet also den „schwierigen Kurven“ von und im Punkt ebenfalls die Steigungen und zu. In kurzer Schreibweise: bzw. Die Näherungen und sind so gewählt, dass sie im Punkt selbst perfekt sind (Tangentenprinzip), es herrscht dann im Grenzfall sogar Gleichheit: bzw. , also kurz bzw.

Es ist nun naheliegend, dass sich ihr Produkt über das Produkt dieser Näherungen wieder annähert. Zum Beispiel sind, zunächst einzeln betrachtet, die Zahlen und gute Näherungen für die Zahlen und , also ist deren Produkt eine Näherung für kurz

Nehmen nun und gedanklich den Platz von und , sowie und von und in der oberen Anschauung ein, gilt diesem Gedanken folgend und Durch Ausmultiplizieren von und anschließendes termweises Zusammenfassen erhält man daraus

Der Term ist für verschwindend gering. Daher kann er bei der linearen Näherung des Produktes ignoriert werden:

Auf der rechten Seite steht nun wieder eine lineare Näherung. Die Steigung von im Punkt ist also

Exakt dieselbe Überlegung gilt für beliebige feste Punkte , wenn man oben durch in den Näherungstermen ersetzt. Die analytische Gestalt der Produktregel ist also das Resultat des mittleren Termes von in ausmultiplizierter Form.

Aussage der Produktregel Sind die Funktionen und von einem Intervall in die Menge der reellen oder der komplexen Zahlen an einer Stelle differenzierbar, so ist auch die durch

für alle

definierte Funktion an der Stelle differenzierbar, und es giltHerbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 321.

oder kurz:

Letztere Schreibweise ist besonders dann in Gebrauch, wenn und , also damit auch , im gesamten Definitionsbereich differenzierbar sind.

Geschichte mini|Gottfried Wilhelm Leibniz

Als Entdecker der Produktregel wird in der Literatur häufig Gottfried Wilhelm Leibniz genannt, der sie in seiner bahnbrechenden Nova Methodus pro Maximis et Minimis (1684), dem ersten Werk über das Kalkül der Infinitesimalrechnung, zusammen mit Summen- und Quotientenregel publizierte.John Stillwell: Mathematics and Its History, Springer, S. 171. Allerdings hatte Leibniz bereits im November 1675 in einem Manuskript mit dem Titel Pro methodo tangentium inversa et aliis tetragonisticis specimina et inventa die Regel

formuliert und diese „einen äußerst bemerkenswerten und für alle Kurven geltenden Satz“ bezeichnet.J. M. Child: The Early Mathematical Manuscripts Of Leibniz, S. 107. Hierbei nutzte er seine eigens eingeführte Notation für infinitesimale Größen. In einer weiteren Arbeit vom 11. Juli 1677 lieferte Leibniz schließlich erste Beweise für sowohl die Produkt- als auch die Quotientenregel. Um zu zeigen, schreibt Leibniz

und argumentiert, dass die Größe „unendlich viel kleiner“ sei verglichen zum Rest, womit nur noch überbleibt.Charles Henry Edwards: The Historical Development of the Calculus, Springer, S. 255–256. Auch war Leibniz im Jahr 1710 im Stande, eine allgemeine Form der Produktregel zu formulieren. Diese bezieht sich auf höhere Ableitungen eines Produktes, also zweite, dritte, vierte usw. Ableitung. Leibniz schrieb:Gottfried Wilhelm Leibniz: Mathematische Schriften V, S. 379–380. etc., etc., wobei er die Notationen für die -te Potenz und für das -te Differential verwendete. Leibniz erkannte, dass die allgemeine Produktregel in direkter Verbindung zum binomischen Lehrsatz stand und sich diese durch die Analogie zwischen dimensionsgebundener Homogenität (im Sinne gleicher Potenzen in Polynomen) und Potenzen unendlich kleiner Größen ausdrückt.H. J. M. Bos: Differentials, Higher-Order Differentials and the Derivative in the Leibnizian Calculus, Arch. Hist. Exact Sci. 14, 1975, S. 33. In einer Leibniz-Übersetzung im Jahr 1920 behauptete J. M. Child jedoch, dass Isaac Barrow die Produktregel, wie auch andere Techniken, zuvor entwickelt habe. Dort heißt es:

Bereits im Jahr 1916 hatte Child eine englische Übersetzung von Teilen der Lectiones Geometricae von Barrow veröffentlicht,J. M. Child: Geometrical Lectures of Isaac Barrow. Chicago, London, 1916. in deren Vorwort er Barrow zum eigentlichen und einzigen Erfinder der Differential- und Integralrechnung erhoben hatte. Damit ging Child nach Einschätzung von Thomas Sonar jedoch zu weit, denn man könne aus Barrows geometrischen Konstruktionen den Hauptsatz zwar herauslesen, allerdings hätte Child dies aus der Position des heutigen, mathematisch gebildeten Menschen getan. Barrow wäre es laut Sonar hingegen versagt geblieben, diese tiefe Einsicht aus seinen eigenen Arbeiten zu gewinnen.Thomas Sonar: 3000 Jahre Analysis, Springer, S. 330.

Anwendungsbeispiele Im Folgenden sei stets Ist und so ist und man erhält aus der Kenntnis von und mit der Produktregel

Ist und , so ist und wegen und folgt daraus

Ist und , so ist und wegen und folgt daraus

Verwendet man die Kurznotation so erhält man beispielsweise für die Ableitung folgender Funktion

Ausmultipliziert ergibt sich

Erklärung und Beweis mini|Geometrische Veranschaulichung des Beweises der Produktregel. mini|300px|rechts|Die beiden hellblauen Streifen ergeben in Kombination die Produktregel.

Das Produkt zweier reeller an einer Stelle differenzierbarer Funktionen und hat an der Stelle den Wert der als Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seiten und gedeutet werden kann. Ändert sich nun um so ändert sich um und um Die Änderung des Flächeninhalts setzt sich dann (siehe Abbildung) zusammen aus

Dividiert man durch so ergibt sich mit

der Differenzenquotient der Produkt- oder Flächeninhaltsfunktion an der Stelle .

Für gegen 0 konvergiert und damit der ganze letzte Summand gegen 0, sodass man an der Stelle

erhält, wie behauptet. Dies ist auch im Wesentlichen die Argumentation, wie sie sich in einem ersten Beweis der Produktregel 1677 in einem Manuskript von Gottfried Wilhelm Leibniz findet. Die Produktregel, die er dort gemeinsam mit der Quotientenregel beweist, war damit eine der ersten Regeln zur Anwendung der Infinitesimalrechnung, die er herleitete. Er benutzte allerdings keinen Grenzwert, sondern noch Differentiale und schloss, dass wegfällt, weil es im Vergleich zu den anderen Summanden infinitesimal klein sei. Leonhard Euler benutzte noch dasselbe Argument, erst bei Augustin-Louis Cauchy findet sich ein Beweis mit Grenzwerten, der den heutigen Maßstäben an mathematische Strenge genügt:

Beweis

Gegeben sei die Funktion durch Die Ableitung von an einer Stelle ist dann durch den Grenzwert des Differenzenquotienten

gegeben. Addition und Subtraktion des Terms liefert

Das Ausführen der beiden Grenzübergänge liefert die Produktregel .

Verallgemeinerungen Bei allen Betrachtungen und Verallgemeinerungen der Produktregel ist darauf zu achten, dass die Faktoren beziehungsweise alle Faktoren an der betrachteten Stelle differenzierbar sind. Ansonsten kann die Ableitung des Produkts an der Stelle eine Definitionslücke haben.

Mehrfache Differentiation Auch die Regel für Ableitungen der Ordnung (höhere Ableitungen) für ein Produkt aus zwei Funktionen war schon Gottfried Wilhelm Leibniz bekannt und wird entsprechend manchmal ebenfalls als Leibnizregel bezeichnet. Sie ergibt sich aus der Produktregel mithilfe vollständiger Induktion:Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis 1, Dritte Auflage, Birkhäuser, S. 325.

Das Symbol ist das Summenzeichen für reelle Zahlen. Die hier auftretenden Ausdrücke der Form sind Binomialkoeffizienten. Die obige Formel enthält die eigentliche Produktregel als Spezialfall und impliziert, dass der -Vektorraum der -mal differenzierbaren Funktionen auf sogar eine -Algebra ist. Einfach gesprochen folgt also, dass wenn und jeweils -mal differenzierbar sind, dies auch auf ihr Produkt zutrifft.

Bemerkung: Diese Verallgemeinerung für die mehrfache Differentiation eines Produkts aus zwei Funktionen hat auffallende Ähnlichkeit zum binomischen Lehrsatz

Diese Ähnlichkeit ist kein Zufall. Der übliche Induktionsbeweis läuft in beiden Fällen vollkommen analog. Man kann die Leibnizregel aber auch mit dem binomischen Lehrsatz beweisen.

Produkte von endlich vielen differenzierbaren Funktionen Wird die erste Ableitung eines Produkts von endlich vielen differenzierbaren Funktionen betrachtet, dann gilt folgende allgemeinere Gleichung

wobei das Produktzeichen für reelle Zahlen ist. Haben die Funktionen keine Nullstellen, so kann man diese Regel auch in der übersichtlichen Form

schreiben. Derartige Brüche bezeichnet man als logarithmische Ableitungen. Hintergrund dabei ist die Gleichung.

Für die mehrfache Differentiation von mehr als zwei Faktoren lässt sich ganz entsprechend das Multinomialtheorem verwenden. Es gilt

mit den Multinomialkoeffizienten .