miniatur|Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene : Der Verbindungsvektor zwischen dem Punkt und seinem Abbild bildet mit der Ebene einen rechten Winkel.
Eine Orthogonalprojektion (von gr. ὀρθός orthós ‚gerade‘, γωνία gōnía ‚Winkel‘ und lat. prōicere, PPP prōiectum ‚vorwärtswerfen‘), orthogonale Projektion oder senkrechte Projektion ist eine Abbildung, die in vielen Bereichen der Mathematik eingesetzt wird. Bei der Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade oder eine Ebene bildet die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild mit dieser Gerade oder Ebene einen rechten Winkel. Das Abbild hat dann von allen Punkten der Gerade oder Ebene den kürzesten Abstand zum Ausgangspunkt. Eine Orthogonalprojektion ist damit ein Spezialfall einer Parallelprojektion, bei der die Projektionsrichtung gleich der Normalenrichtung der Gerade oder Ebene ist. Auch andere geometrische Objekte lassen sich durch Orthogonalprojektionen aufeinander abbilden, wie eine Gerade auf eine Ebene. Dazu wird jeder Punkt der Gerade auf die Ebene projiziert, was eine in der Ebene liegende Gerade ergibt.
In der linearen Algebra wird das Konzept der Orthogonalprojektion auf höherdimensionale Vektorräume über den reellen oder komplexen Zahlen und allgemeinere Winkel- und Abstandsbegriffe erweitert. Eine Orthogonalprojektion ist dann die Projektion eines Vektors auf einen Untervektorraum, sodass der Differenzvektor aus Abbild und Ausgangsvektor in dessen orthogonalem Komplement liegt. In der Funktionalanalysis wird der Begriff noch weiter in unendlichdimensionalen Skalarprodukträumen gefasst und insbesondere auf Funktionen angewandt. Die Existenz und Eindeutigkeit solcher Orthogonalprojektionen stellt dann der Projektionssatz sicher.
Orthogonalprojektionen besitzen vielfältige Einsatzbereiche innerhalb der Mathematik, beispielsweise in der darstellenden Geometrie, dem Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren, der Methode der kleinsten Quadrate, dem Verfahren der konjugierten Gradienten, der Fourier-Analysis oder der Bestapproximation. Sie besitzen Anwendungen unter anderem beim Technischen Zeichnen, in der Kartografie, der Computergrafik und der Physik.
Darstellende Geometrie miniatur|Prinzip einer Dreitafelprojektion
In der darstellenden Geometrie und im technischen Zeichnen dienen Projektionen dazu, zweidimensionale Abbildungen von dreidimensionalen geometrischen Körpern herzustellen. Neben der Zentralprojektion kommen hierbei häufig Parallelprojektionen zum Einsatz. Eine Parallelprojektion ist eine Abbildung, die Punkte des dreidimensionalen Raums auf Punkte einer gegebenen Bildebene abbildet, wobei die Projektionsstrahlen zueinander parallel sind. Treffen die Projektionsstrahlen im rechten Winkel auf die Projektionsebene, so spricht man von einer Orthogonalprojektion.
Werden statt einer Bildebene drei Projektionsebenen verwendet, die aufeinander senkrecht stehen, dann handelt es sich um eine Dreitafelprojektion oder Normalprojektion. Meist liegen dabei die Projektionsebenen parallel zu den Achsen des verwendeten (kartesischen) Koordinatensystems. Besitzt ein Punkt im Raum dann die Koordinaten , so erhält man die Orthogonalprojektionen des Punkts auf die drei Koordinatenebenen durch
(Projektion auf die xy-Ebene) (Projektion auf die xz-Ebene) (Projektion auf die yz-Ebene)
Verläuft eine Projektionsebene zwar parallel zu zwei der Koordinatenachsen, aber nicht durch den Nullpunkt des Koordinatensystems, so erhält man den projizierten Punkt durch Ersetzen des Werts durch den Schnittpunkt der Ebene mit der dritten Koordinatenachse. Bei einer orthogonalen Axonometrie, beispielsweise einer Isometrie oder einer Dimetrie, wird das abzubildende Objekt vor der Projektion auf spezifische Weise gedreht.
Analytische Geometrie
Die analytische Geometrie beschäftigt sich mit der Berechnung und den mathematischen Eigenschaften von Orthogonalprojektionen im zwei- und dreidimensionalen Raum, insbesondere für den Fall, dass die Projektionsebene nicht parallel zu den Koordinatenachsen liegt.
Projektion auf eine Gerade miniatur|Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade . Das Lot steht auf der Gerade senkrecht.
Definition
In der euklidischen Ebene ist eine Orthogonalprojektion die Abbildung eines Punkts auf eine Gerade , derart dass die Verbindungslinie zwischen dem Punkt und seinem Abbild einen rechten Winkel mit der Gerade bildet. Eine Orthogonalprojektion muss demnach die beiden Bedingungen
(Projektion) (Orthogonalität)
erfüllen. Die Linie heißt Lot des Punkts auf die Gerade und der projizierte Punkt wird Lotfußpunkt genannt. Die zeichnerische Konstruktion des Lots mit Zirkel und Lineal ist eine Standardaufgabe der euklidischen Geometrie und man spricht dabei vom Fällen des Lots.
Herleitung miniatur|Orthogonalprojektion eines Vektors auf eine Gerade mit Stützvektor und Richtungsvektor
In der analytischen Geometrie werden Punkte im kartesischen Koordinatensystem durch Ortsvektoren beschrieben und Geraden typischerweise als Geradengleichung in Parameterform , wobei ein Stützvektor, der Richtungsvektor der Geraden und ein reeller Parameter ist. Zwei Vektoren, die einen rechten Winkel einschließen, haben ein Skalarprodukt von null. Die Orthogonalprojektion auf die Gerade muss die beiden Bedingungen
für ein erfüllen.
Wird die erste Gleichung in die zweite eingesetzt, so erhält man
,
was nach aufgelöst
ergibt.
Verläuft die Gerade als Ursprungsgerade durch den Nullpunkt, dann ist ein Stützvektor und die Formel vereinfacht sich zu
.
Ist zudem der Richtungsvektor der Gerade ein Einheitsvektor, gilt also , so erhält man die einfachere Darstellung
.
Der Faktor gibt dann an, wie weit der projizierte Punkt auf der Gerade vom Nullpunkt entfernt ist. Analog kann auch ein Punkt im euklidischen Raum auf eine Gerade im Raum orthogonal projiziert werden, es wird lediglich mit drei statt zwei Komponenten gerechnet.
Beispiele
Die Orthogonalprojektion des Punkts mit auf die Ursprungsgerade mit Richtung in der euklidischen Ebene ist
.
Die Orthogonalprojektion des Punkts mit auf die Ursprungsgerade mit Richtung im euklidischen Raum ist
.
Eigenschaften
Befindet sich der zu projizierende Punkt bereits auf der Gerade, dann gibt es eine Zahl mit und die Orthogonalprojektion
verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert die Orthogonalprojektion den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Geradenpunkten, da für das Quadrat dieses Abstands nach dem Satz des Pythagoras
für alle Zahlen gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen, da der erste Term der Summe genau für null wird. Bilden die Vektoren und einen rechten Winkel, so ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.
Berechnung
Die Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Gerade , die keine Ursprungsgerade ist, ist durch
.
gegeben (siehe oben Abschnitt „Herleitung“). Aus dem Allgemeinfall erhält man die obigen Spezialfälle, indem der Stützvektor der Gerade in den Nullpunkt verschoben wird und ihr Richtungsvektor normiert wird, also durch seinen Betrag geteilt wird. In dem Beispiel der obigen Abbildung ist , sowie und damit .
Alternativ kann eine Orthogonalprojektion im zweidimensionalen Fall auch durch Ermittlung des Schnittpunkts der Ausgangsgeraden mit der Lotgeraden berechnet werden. Ist ein Normalenvektor der Ausgangsgeraden, so folgt aus den beiden Bedingungen
durch Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite Gleichung und Auflösen nach dem freien Parameter für die Orthogonalprojektion
.
Einen Normalenvektor kann man durch Vertauschen der beiden Komponenten des Richtungsvektors der Geraden und durch Umkehrung des Vorzeichens einer der beiden Komponenten ermitteln. In dem obigen Beispiel ist ein solches . Da eine Gerade im dreidimensionalen Raum keine ausgezeichnete Normalenrichtung besitzt, ist dieser einfache Ansatz aber nur in zwei Dimensionen möglich.
Projektion auf eine Ebene miniatur|Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene . Das Lot steht senkrecht auf allen Geraden der Ebene durch den Lotfußpunkt .
Definition
Im dreidimensionalen Raum kann ein Punkt auch auf eine Ebene orthogonal projiziert werden. Eine Orthogonalprojektion muss dann die beiden Bedingungen
(Projektion) (Orthogonalität)
erfüllen. Auch hier spricht man von Lot und Lotfußpunkt. Die Orthogonalität impliziert dabei, dass das Lot senkrecht auf allen Geraden der Ebene durch den Lotfußpunkt steht.
Herleitung miniatur|Orthogonalprojektion eines Vektors auf eine Ebene mit Stützvektor und orthogonalen Richtungsvektoren und Ein Punkt im euklidischen Raum werde wieder durch einen Ortsvektor beschrieben und die Ebene sei in Parameterform gegeben, wobei und reelle Parameter sind sowie und die Spannvektoren der Ebene, welche nicht kollinear sein dürfen.
Aufgrund der Linearität des Skalarprodukts reicht es dabei aus, Orthogonalität bezüglich der beiden Spannvektoren statt bezüglich aller Vektoren der Ebene nachzuweisen.
Handelt es sich bei der Ebene um eine Ursprungsebene, das heißt , dann muss die Orthogonalprojektion des Punkts auf die Ebene die folgenden drei Bedingungen erfüllen:
Setzt man die erste Gleichung in die anderen beiden Gleichungen ein, erhält man mit
ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den beiden Unbekannten und . Falls die Spannvektoren zueinander orthogonal sind, das heißt gilt, dann zerfällt dieses Gleichungssystem in zwei voneinander unabhängige Gleichungen und seine Lösung kann direkt angegeben werden. Die Orthogonalprojektion des Punkts auf die Ebene ist dann gegeben durch
Sind die Spannvektoren sogar orthonormal, gilt also zusätzlich , dann hat man die einfachere Darstellung
Man erhält die Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene also durch Ermittlung der Orthogonalprojektionen und des Punkts auf die beiden von den Spannvektoren gebildeten Geraden und und durch Addition der Resultate (siehe Abbildung).
Beispiel
Die Orthogonalprojektion des Punkts auf die Ursprungsebene, die durch die orthogonalen Vektoren und aufgespannt wird, ist
.
Eigenschaften
Befindet sich der zu projizierende Punkt bereits auf der Ebene, dann gibt es Zahlen und mit und die Orthogonalprojektion
verändert den Punkt nicht. Andernfalls minimiert der orthogonal projizierte Punkt den Abstand zwischen dem Ausgangspunkt und allen Punkten der Ebene, da für das Quadrat dieses Abstands mit dem Satz des Pythagoras
für alle Zahlen gilt. Das Minimum wird dabei eindeutig für und an dem orthogonal projizierten Punkt angenommen. Bildet sowohl mit als auch mit einen rechten Winkel, dann ist der projizierte Punkt der Nullpunkt.
Berechnung
Verläuft eine Ebene nicht durch den Ursprung, so kann sie durch Translation um in den Ursprung verschoben werden. Sind ihre Spannvektoren nicht orthogonal, so können diese mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahrens orthogonalisiert werden. Hierzu ermittelt man (beispielsweise) einen zu orthogonalen Vektor als Verbindungsvektor von zur Orthogonalprojektion von auf die Gerade in Richtung
und erhält somit den Allgemeinfall einer Orthogonalprojektion eines Punkts auf eine Ebene durch
.
Alternativ dazu kann eine Orthogonalprojektion auch durch Berechnung des Schnitts der Lotgeraden mit der Ebene berechnet werden. Ein Normalenvektor der Ebene kann, sofern sie nicht in Normalenform gegeben ist, über das Kreuzprodukt der (nicht notwendigerweise orthogonalen, aber nichtkollinearen) Spannvektoren durch berechnet werden. Man erhält dann wie im zweidimensionalen Fall als Orthogonalprojektion
.
Lineare Algebra