Als Punktoperatoren bezeichnet man eine umfangreiche Klasse von Bildverarbeitungsoperationen in der digitalen Bildverarbeitung, die sich – gegenüber lokalen und globalen Operatoren – dadurch auszeichnen, dass bei allen Verfahren dieser Klasse ein neuer Farb- oder Grauwert eines Pixels allein in Abhängigkeit von seinem eigenen bisherigen Farb- oder Grauwert und seiner eigenen bisherigen Position im Bild berechnet wird, ohne sich dabei um seine Nachbarschaft und/oder den Kontext des Pixels zu kümmern.
Einordnung Unter dem Oberbegriff der Punktoperatoren finden sich verschiedene häufig genutzte Verfahren der digitalen Bildverarbeitung wie Tonwertkorrektur, Kontrastverstärkung, Helligkeitskorrektur usw. sowie Visualisierung zusammengefasst, und dementsprechend weit gefächert ist auch das Einsatzgebiet von Punktoperatoren in einem typischen Bildverarbeitungssystem:
Szene →Bildaufnahme →Vorverarbeitung →Segmentierung →Merkmalsextraktion →Klassifizierung →BildverstehenVisualisierung
Sie stellen meistens den ersten Schritt der Vorverarbeitung dar, um den Bildkontrast zu verstärken oder Belichtungsfehler bei der Bildaufnahme auszugleichen. Die Segmentierung eines Bildes wird oft durch die Anwendung eines globalen Schwellwertverfahrens realisiert. Im Anschluss an die Segmentierung werden die gefundenen Objekte oft noch klassifiziert, d. h. in einzelne Klassen „einsortiert“. Bei der Visualisierung der Ergebnisse einer Segmentierung oder einer Klassifizierung für den Menschen sind die Verfahren der Pseudokolorierung oder Falschfarbendarstellung gebräuchlich.
Neben den Punktoperatoren, die jedes Pixel eines Bildes einzeln transformieren, gibt es in der digitalen Bildverarbeitung mit den lokalen Operatoren und den globalen Operatoren zwei weitere Klassen von Bildverarbeitungsoperationen. Lokale Operatoren berechnen einen neuen Farb- oder Grauwert eines Pixels immer auf Basis einer Nachbarschaft oder einer örtlich begrenzten Region um das Pixel. Hier seien als Beispiele Rangordnungsoperatoren oder morphologische Operatoren genannt. Globale Operatoren betrachten für die Transformation eines jeden Pixels immer das gesamte Bild, was beispielsweise bei der Fourier-Transformation der Fall ist.
Die meisten Punktoperatoren gehören der Klasse der Low-Level-Operatoren an. In dieser Klasse sind alle primitiven Vorverarbeitungsoperationen, wie beispielsweise Rauschunterdrückung oder Kontrastverbesserung, zusammengefasst. Einen Low-Level-Operator zeichnet aus, dass sowohl die Eingabe als auch die Ausgabe ein Bild ist. Im Gegensatz dazu stehen die Mid-Level-Operatoren, die eine Segmentierung eines Bildes berechnen und Merkmale der Segmente extrahieren, und die High-Level-Operatoren, die das Zusammenspiel der erkannten Objekte im Bild analysieren und das Bild zu verstehen versuchen.
Allgemeine Definition Ein Punktoperator T ordnet einem Eingabebild f durch Transformation der Grauwerte der einzelnen Pixel ein Ergebnisbild f* zu. Der Grauwert f(x,y) eines Pixels (x,y) wird dabei nur in Abhängigkeit vom Grauwert selbst und eventuell von der Position des Pixels im Bild modifiziert:
mini|Transformation des Grauwerts im Pixel (x,y)
Ist die Transformation von der Position des Pixels im Bild abhängig, so heißt sie inhomogen. Die Indizes x und y von T sollen diese Abhängigkeit verdeutlichen. In der Mehrheit der Fälle kommen jedoch homogene Transformationen zum Einsatz, bei denen diese Abhängigkeit nicht gegeben ist. Die Indizes werden dann überflüssig:
Über die Umkehrbarkeit solcher Transformationen lässt sich keine allgemeingültige Aussage treffen. Einige im Folgenden vorgestellte Verfahren, wie z. B. die Negativtransformation, sind ohne Einschränkungen umkehrbar. Einige weitere Verfahren, wie z. B. die Histogrammspreizung, sind umkehrbar, solange eine kontinuierliche Grauwertskala vorliegt. Werden jedoch die in der Praxis gebräuchlichen diskreten Grauwerte verwendet (siehe Abschnitt Anwendung), treten Rundungsfehler auf und die Transformationen sind aus streng mathematischer Sicht nicht mehr umkehrbar. Meistens wirken sich die Rundungsfehler nur sehr gering aus und da das menschliche Auge den feinen Unterschied zwischen zwei benachbarten Grauwerten im Normalfall nicht wahrnehmen kann, ergibt die Umkehrung der Transformation subjektiv wieder das Originalbild. Schließlich gibt es einige Verfahren, wie z. B. die Histogrammbegrenzung, die nicht umkehrbar sind, da bei der Anwendung Informationen unwiederbringlich verloren gehen.
Ein Punktoperator kann auch als ein Operator auf einer Nachbarschaft der Größe 1×1, also einem einzigen Pixel, aufgefasst werden und stellt daher die einfachste Form eines Nachbarschaftsoperators dar.
Anwendung In der Praxis ist das Eingabebild einer Operation in den meisten Anwendungsfällen ein Grauwertbild mit diskretem Definitionsbereich . Der Wert „0“ steht hierbei für „Schwarz“, der Wert „G“ für „Weiß“. G stellt also den größten möglichen Grauwert dar und berechnet sich für ein Bild der Farbtiefe n Bit nach der Formel:
Für n = 8 Bit, n = 12 Bit oder n = 16 Bit, den drei häufigsten Grauwertbild-Formaten, beträgt G demnach 255, 4095 bzw. 65535.
Die Alternative zu einer diskreten Grauwertskala ist eine kontinuierliche Skala. In einem solchen Bild gibt es theoretisch unendlich viele Grauwerte, die durch Gleitkommazahlen, gewöhnlich im Wertebereich , dargestellt werden. Der Ausdruck „im Diskreten“ bedeutet, dass dem Bild eine diskrete Grauwertskala zugrunde liegt, während „im Kontinuierlichen“ eine kontinuierliche Skala bezeichnet.
Bei der Anwendung eines homogenen Punktoperators auf ein Bild mit diskreter Skala wird die Transformation in der Praxis oftmals nicht für jedes Pixel einzeln berechnet. Es genügt, jeden möglichen Grauwert einmal zu transformieren und in einer sogenannten Lookup-Tabelle zu speichern. Das Transformationsergebnis für jedes Pixel muss dann nur noch in der Tabelle nachgeschlagen werden.
Beispiel: Ein Bild der Größe 640 × 480 besteht aus 307.200 Pixeln. Anstatt über 300.000 Grauwerte zu transformieren, kommt man bei einer Farbtiefe von beispielsweise 12 Bit mit 4096 Transformationen für alle Werte der Lookup-Tabelle aus. Hinzu kommen allerdings noch 307.200 Lesezugriffe auf die Tabelle. Bei einfacheren Verfahren, wie z. B. der Negativtransformation, bei der nur eine simple Subtraktion ausgeführt wird, benötigt die Transformation eines Pixels weniger Rechenzeit als das Nachschlagen in der Tabelle. Die Verwendung von Lookup-Tabellen lohnt sich also nur bei rechenintensiveren Transformationen wie beispielsweise der Histogrammspreizung.
Da bei homogenen Punktoperatoren die Verwendung einer Lookup-Tabelle prinzipiell immer möglich ist, kann die im vorherigen Abschnitt definierte Transformation T des Grauwerts f(x,y) eines Pixels (x,y) nach f*(x,y) allgemeiner als Transformation eines Grauwerts g nach g* formuliert werden:
{| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" valign="center" |- valign="middle" | | width="03%" | | | width="03%" |
mini|Histogramm mit Transformationskennlinie Die homogene Abbildung der Grauwerte g des Eingabebildes auf die Grauwerte g* im Ergebnisbild kann durch eine sogenannte Transformationskennlinie beschrieben werden, die im Diskreten durch die Lookup-Tabelle gegeben ist. Sie ist im Allgemeinen nicht linear, aber monoton über ihrem Definitionsbereich, der Grauwertskala, die gleichzeitig ihren Wertebereich darstellt. Im Bereich der digitalen Bildbearbeitung wird die Transformationskennlinie Gradationskurve genannt.
Die statistischen Häufigkeiten der einzelnen Grauwerte im Eingabe- und im Ergebnisbild können mit Hilfe von Histogrammen grafisch dargestellt werden. Sie ermöglichen Aussagen über die vorkommenden Grauwerte, den Kontrastumfang und die Helligkeit eines Bildes und die Güte einer möglichen Bildsegmentierung bei Anwendung eines Schwellwertverfahrens.
Das Abbildungsverhalten eines Punktoperators kann anschaulich anhand eines Grauwerthistogramms des Eingabebildes dargestellt werden, das mit der verwendeten Transformationskennline überlagert wird. Diese Darstellungsform hat den Vorteil, dass man relativ leicht ablesen kann, welcher Grauwert des Eingabebildes auf welchen Grauwert im Ergebnisbild abgebildet wird (siehe nebenstehendes Beispiel).
Fast alle im Folgenden vorgestellten Verfahren sind im Prinzip auch auf Farbbilder anwendbar. Eine Möglichkeit besteht darin, aus den einzelnen Farbkanälen eines Bildes ein gemeinsames Grauwertbild zu berechnen und dieses mit dem gewünschten Punktoperator zu transformieren. Das Ergebnis ist in diesem Fall allerdings selbst ein Grauwertbild. Etwas komplizierter wird es, wenn das Ergebnisbild wieder ein Farbbild sein soll. Denn eine Transformation jedes einzelnen Farbkanals, beispielsweise des roten, grünen und blauen Kanals bei Verwendung des RGB-Farbraums, führt zu unschönen bis falschen Ergebnissen. Abhilfe schafft hier eine Umrechnung des RGB-Bildes in das YCbCr-Farbmodell. Der Y-Kanal, der die Helligkeit wiedergibt, kann nun wie ein Grauwertbild transformiert werden. Anschließend muss das Bild dann wieder in den RGB-Farbraum zurückgerechnet werden.
Homogene Standardtransformationen mini|Vergleich der Transformationskennlinien von Potenz-, Logarithmus-, Exponential- und Negativtransformationen Im Folgenden sollen einige homogene Punktoperatoren vorgestellt werden, die in der digitalen Bildverarbeitung, einige davon auch in der digitalen Bildbearbeitung, vielfach Anwendung finden.
Die meisten homogenen Transformationen lassen sich in zwei Klassen einteilen: Zur ersten Klasse zählen die Verfahren, deren Transformationskennlinien immer gleich aussehen, egal auf welches Bild sie angewendet werden. Dazu zählen die Negativtransformation, die Potenztransformation, die Logarithmustransformation und die Exponentialtransformation (für einen Vergleich siehe nebenstehende Abbildung). Zur zweiten Klasse lassen sich die Verfahren zusammenfassen, deren Transformationskennlinien auf Basis des Grauwerthistogramms des Eingabebildes berechnet werden, also die Histogrammverschiebung, die Histogrammspreizung, die Histogrammbegrenzung und die Histogrammäqualisation. Lediglich die Schwellwertverfahren sowie die Pseudokolorierung lassen sich in diese Klassifikation nicht einordnen.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit wird im Folgenden für alle Bilder angenommen, dass sie Grauwertbilder mit einem diskreten Wertebereich sind. Alle vorgestellten Verfahren sind auch auf Gleitkomma-Grauwertbilder anwendbar. In diesem Fall entfallen die Rundungen und die Normalisierungsfaktoren müssen ggf. angepasst werden.
Negativtransformation Die Invertierung der Grauwerte eines Grauwertbildes heißt Negativtransformation. Da das menschliche visuelle System feine Unterschiede zwischen Grauwerten in verschiedenen Helligkeitsbereichen unterschiedlich gut wahrnimmt, kann eine Negativtransformation zur besseren Wahrnehmung feiner Strukturen führen. Das Ergebnisbild ist ein Negativ, wie es aus der analogen Fotografie bekannt ist. Es kann leicht berechnet werden, indem für jedes Pixel eine einfache Subtraktion ausgeführt wird:
Diese Transformation ist im Gegensatz zu den meisten anderen sowohl im Kontinuierlichen als auch im Diskreten ohne Einschränkung durch nochmalige Anwendung umkehrbar:
Potenztransformation Die Potenztransformation (auch Gammakorrektur genannt) ist eine monotone Transformation auf Basis einer Potenzfunktion. Mit diesem Verfahren lässt sich die Helligkeit eines Bildes verändern, indem für einen Teil der Grauwerte eine nichtlineare Spreizung durchgeführt wird, während der andere Teil nichtlinear gestaucht wird.