Die Lagrange-Dichte (nach dem Mathematiker Joseph-Louis Lagrange) spielt in der theoretischen Physik eine Rolle bei der Betrachtung von Feldern. Sie beschreibt die Dichte der Lagrange-Funktion in einem Volumenelement. Daher ist die Lagrange-Funktion definiert als das Integral der Lagrange-Dichte über dem betrachteten Volumen:
mit dem betrachteten Feld .
Der eigentliche Zweck der Lagrange-Dichte ist die Beschreibung von Feldern durch Bewegungsgleichungen. So, wie man die Lagrange-Gleichungen zweiter Art aus dem Hamiltonschen Prinzip erhält, kann man die Lagrange-Gleichungen für Felder aus dem Hamiltonschen Prinzip für Felder erhalten (Herleitung). Entsprechend lautet die Bewegungsgleichung:
.
Beispiel miniatur|Beispielhafte Lösung der Bewegungsgleichung einer schwingenden Saite (String) in 3 Dimensionen. Parameter: , Animation läuft mit 10 % der tatsächlichen Geschwindigkeit. Für eine in einer Dimension schwingende Saite ergibt sich für die Lagrange-Dichte
In diesem Beispiel bedeuten: die Auslenkung eines Punktes der Saite aus der Ruhelage (Feldvariable) die lineare Massendichte den Elastizitätsmodul
Mit dieser Lagrange-Dichte ergibt sich
Damit ergibt sich für die Bewegungsgleichung der schwingenden Saite
Anwendung in der Relativitätstheorie
Anwendung findet die Beschreibung physikalischer Vorgänge über die Lagrange-Dichte statt über die Lagrange-Funktion vor allem in relativistischen Vorgängen. Hier ist eine kovariante Darstellung der Lagrange-Funktion gewünscht, dann ist die Wirkung über
definiert, wobei die Determinante des metrischen Tensors ist. Damit ist die Lagrange-Funktion ein Lorentz-Pseudoskalar, also invariant unter Lorentz-Transformationen:
mit , wobei der Lorentz-Transformationstensor ist.
Literatur Franz Schwabl: Lagrange-Dichte. In: Ders.: Quantenmechanik für Fortgeschrittene (QM II). Springer, Berlin 2005, ISBN 978-3-540-28865-7, S. 281ff.
Einzelnachweise
Kategorie:Feldtheorie Kategorie:Klassische Mechanik Kategorie:Joseph-Louis Lagrange als Namensgeber