Die Kerr-Metrik (nach Roy Kerr, der sie 1963 veröffentlicht hat) ist eine stationäre und axialsymmetrische Vakuumlösung der einsteinschen Feldgleichungen. Sie beschreibt die Raumzeit und damit auch das Gravitationsfeld eines ungeladenen und rotierenden Schwarzen Loches.
Im Gegensatz zur Schwarzschild-Metrik, die auch im Außenbereich eines nichtrotierenden und sphärisch-symmetrischen Körpers beliebiger Ausdehnung gilt (und damit nicht nur für Schwarze Löcher, sondern auch für Sterne), beschreibt die Kerr-Metrik im Wesentlichen die Raumzeit eines Schwarzen Lochs, denn schnell rotierende Sterne haben oft ein nicht zu vernachlässigendes Multipolmoment und unterschiedliche Dichtegradienten,Masaru Shibata, Misao Sasaki: Innermost stable circular orbits around relativistic rotating stars. (PDF; 220 kB). sodass sich ihre Raumzeit-Geometrie erst in einem gewissen Abstand von ihrer Oberfläche der Kerr-Metrik annähert.Nikolaos Stergioulas: Rotating Stars in Relativity. (PDF; 700 kB) S. 16, Kapitel 2.8, .
Jeweils kurz nach der Entdeckung der Schwarzschild- bzw. Kerr-Metrik wurden auch die zugehörigen Verallgemeinerungen für den Fall von elektrisch geladenen Schwarzen Löchern gefunden.
Parameter Die Kerr-Metrik enthält neben den vier raumzeitlichen Koordinaten noch zwei Parameter: steht für die gravitierende Masse inklusive der Rotationsenergie. wird Kerr-Parameter oder auch Spinparameter genannt. In geometrisierten Einheiten mit (Gravitationskonstante , Lichtgeschwindigkeit ) berechnet sich der Drehimpuls des Schwarzen Loches gemäß . Wird einem Schwarzen Loch mithilfe des Penrose-ProzessesMisner, Thorne, Wheeler: Gravitation. S. 899 f., 908.Bhat, Dhurandhar, Dadhich: Energetics of the Kerr-Newman Black Hole by the Penrose Process. S. 94 ff. seine gesamte Rotationsenergie entzogen, so reduziert sich seine gravitierende Masse auf die irreduzible Masse ; ist also eine Funktion der irreduziblen Masse und des Drehimpulses:
Vom Nordpol aus betrachtet beschreibt: ein positiver Drehimpuls eine Rotation gegen den Uhrzeigersinn ein negativer Drehimpuls eine Rotation im Uhrzeigersinn.
Koordinaten In den folgenden Abschnitten werden für die weitere Beschreibung der Eigenschaften eines rotierenden Schwarzen Loches immer geometrisierte Einheiten und Boyer-Lindquist-Koordinaten verwendet. Boyer-Lindquist-Koordinaten sind verallgemeinerte Kugelkoordinaten. Diese enthalten neben einer zeitartigen Koordinate demnach auch eine radiale Koordinate , die im Folgenden häufig verwendet wird.
Die Polstellen der Kerr-Metrik in Boyer-Lindquist-Koordinaten sind nur durch die spezielle Wahl der Koordinaten begründet; das gilt auch für die Polstellen der Schwarzschild-Metrik in Schwarzschildkoordinaten. Durch eine andere Wahl der Koordinaten kann die Raumzeit der Kerr-Metrik bis in das Innere der Ereignishorizonte stetig und ohne Polstellen in der Metrik beschrieben werden.
Besondere Flächen Die Raumzeit, die durch die Kerr-Metrik beschrieben wird, besitzt aufgrund der Nullstellen im Nenner der Komponenten des metrischen Tensors einige Besonderheiten, die näher untersucht werden können.
Genau wie bei einem ungeladenen und nicht-rotierenden Schwarzen Loch (Schwarzschild-Metrik) gibt es auch hier lichtartige und stationäre Untermannigfaltigkeiten. Eine dieser Untermannigfaltigkeiten bildet einen physikalisch bedeutsamen Ereignishorizont, weil der Lichtkegel aller Punkte auf dieser Fläche komplett auf der Innenseite dieser Fläche liegt. Demnach können Lichtstrahlen den Ereignishorizont nur in Richtung hin zur Singularität bei verlassen.
Neben dem Ereignishorizont gibt es noch eine zweite physikalisch bedeutsame Fläche, die Ergosphäre, die ebenfalls im Folgenden näher beschrieben wird.
Weiterführende Rechnungen zeigen, dass nur der äußere Ereignishorizont und die äußere Ergosphäre eine eigentliche physikalische Bedeutung haben, der innere Ereignishorizont und die innere Ergosphäre jedoch nicht.Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: ), S. 27. (PDF; 321 kB), Formel 116.
Um eine anschauliche Vorstellung von der Form der besonderen Flächen zu bekommen, kann man Koordinaten mit einer anschaulichen Bedeutung verwenden, wie die Kerr-Schild-Koordinaten; diese werden in den folgenden Grafiken zur Darstellung des metrischen Tensors verwendet. das Krümmungsverhalten der besonderen Flächen untersuchen; eine Beschreibung des Krümmungsverhaltens kann den angegebenen Referenzen entnommen werden.Larry Smarr: Surface Geometry of Charged Rotating Black Holes. Physical Review D 7 (1973), S. 269–295,
Ereignishorizont mini|Geometrische Darstellung der Ereignishorizonte und Ergosphären der Kerr-Raumzeit in Kerr-Schild-Koordinaten. Die Ringsingularität liegt an der äquatorialen Ausbuchtung der inneren Ergosphäre bei Matt Visser: The Kerr spacetime: A brief introduction. (Erstveröffentlichung: ), S. 35. (PDF; 321 kB), Fig. 3. mini|verweis=Datei:Kerr.black.hole.shadow.and.horizons.gif|Größenvergleich des Schattens (schwarz) und der besonderen Flächen (weiß) eines Schwarzen Lochs. Der Spinparameter läuft von 0 bis wobei die linke Seite des Schwarzen Lochs auf den Beobachter zu rotiert.Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. (PDF; 227 kB).
In Boyer-Lindquist-Koordinaten entarten die oben angegebenen Komponenten des metrischen Tensors auf mehreren Flächen. Mit den Bezeichnungen von oben kann z. B. der Nenner der rein radialen Komponente gleich Null werden, wenn gesetzt und nach aufgelöst wird. Die beiden Ereignishorizonte liegen damit auf
Die beiden Flächen, die durch die Werte von definiert werden, werden bezeichnet als: äußerer Ereignishorizont innerer Ereignishorizont . Der Wert unter der Wurzel wird nicht negativ, solange die irreduzible Masse und der Kerr-Parameter als unabhängige physikalische Parameter vorausgesetzt werden. Bei maximaler Rotation fallen beide Werte mit dem Gravitationsradius zusammen:
Bei minimaler Rotation fällt der äußere Horizont zusammen mit dem Schwarzschild-Radius , der innere Horizont verschwindet ins Zentrum:
Obwohl die radiale Koordinate bei beiden Ereignishorizonten einen konstanten Wert besitzt, weicht das geometrische Krümmungsverhalten der Ereignishorizonte stark vom Krümmungsverhalten einer Kugeloberfläche ab.
Der innere Ereignishorizont, bei dem es sich um einen Cauchy-Horizont handelt, entzieht sich der direkten Beobachtung, solange für den Spinparameter gilt.Gerald Marsh: The infinite red-shift surfaces of the Kerr solution. (PDF; 965 kB), S. 7. . Da die Raumzeit im Inneren desselben extrem instabil ist, gilt es als eher unwahrscheinlich, dass sich ein solcher bei einem realen Kollaps eines Sterns tatsächlich ausbildet.
Ergosphäre Zwei weitere Flächen ergeben sich in Boyer-Lindquist-Koordinaten aufgrund eines Vorzeichenwechsels der zeitartigen Komponente . Die Bedingung führt hier erneut auf eine quadratische Gleichung mit den Lösungen
Diese zwei Flächen können wegen des Terms unter der Wurzel bei geringem Spinparameter als abgeflachte Sphären bzw. Rotationsellipsoide dargestellt werden. Die äußere Fläche berührt dabei den äußeren Ereignishorizont an den zwei Polen, die durch die Rotationsachse definiert werden; die beiden Pole entsprechen einem Zenitwinkel von bzw. .
Bei einem höheren Spinparameter beult sich die Ergosphäre von den Polen weg auch auf der z-Achse kürbisförmigKatherine Blundell: Black Holes: A Very Short Introduction. S. 31. aus, während der innere Ereignishorizont auf den äußeren zu konvergiert und bei mit diesem zusammenfällt.
Der Raum zwischen den zwei äußeren Flächen mit und wird Ergosphäre genannt. Für ein massebehaftetes Teilchen ist das Linienelement entlang seiner Weltlinie negativ. Da innerhalb der Ergospäre die Komponente der Metrik positiv ist, ist dies jedoch nur dann möglich, wenn das Teilchen mit einer gewissen Mindest-Winkelgeschwindigkeit mit der inneren Masse mitrotiert. Es kann deshalb innerhalb der Ergosphäre keine Teilchen geben, die ruhen oder sich in entgegengesetzter Richtung zu der Masse auf der Ringsingularität drehen, da die lokale Transversalgeschwindigkeit des Raumzeitstrudels (der Frame-Dragging-Effekt) ab dem äußeren Rand der Ergosphäre größer gleich der Lichtgeschwindigkeit ist (Index zamo siehe #Mitbewegte Inertialsysteme).Scott A. Hughes: Nearly horizon skimming orbits of Kerr black holes. (PDF; 583 kB), S. 5 ff.Daniel Brennan: Energy Extraction from Black Holes. (PDF; 2,0 MB), S. 17.
Schatten Beim Schatten eines Schwarzen Lochs handelt es sich um den schwarzen Bereich, den ein Beobachter an der Stelle sieht, wo sich das Schwarze Loch befindet. Es handelt sich also um die scheinbare Ausdehnung des Schwarzen Lochs, die aufgrund der starken Krümmung der Raumzeit in der Nähe des Schwarzen Loches immer größer als der äußere Ereignishorizont ist.
Der Umriss des Schattens kann entweder mit numerischer Integration der lichtartigen Geodäten oder auch durch fouriertransformierte Limaçons berechnet werden.Andreas de Vries: Shadows of rotating black holes. S. 9, Gleichungen (12), (13).Claudio Paganini, Blazej Ruba, Marius Oancea: Null Geodesics on Kerr Spacetimes. (PDF; 4,7 MB), .Naoki Tsukamoto: Kerr-Newman and rotating regular black hole shadows in flat spacetime. (PDF; 372 kB), .Grenzebach, Perlick, Lämmerzahl: Photon Regions and Shadows of Kerr–Newman–NUT Black Holes. (PDF; 3,9 MB), .Hung-Yi Pu, Kiyun Yun, Ziri Younsi, Suk Jin Yoon: A public GPU-based code for general-relativistic radiative transfer in Kerr spacetime. (PDF; 8,9 MB), S. 2 ff., .
Der Beobachter wird im Folgenden als in weiter Entfernung vom Schwarzen Loch und stationär angenommen. bezeichnet den Polarwinkel der Position des Beobachters; und entspricht also einer Position auf der Symmetrieachse der betrachteten Raumzeit, dagegen einer Position in der äquatorialen Ebene. Die Wellenlänge des Lichts wird im Vergleich zum Gravitationsradius als vernachlässigbar klein betrachtet.
Die Konturlinien sind gegeben durch
mit den beiden Parametern
die noch vom Kerrparameter und der Position des Beobachters abhängen. Ferner gilt noch die folgende Reihenentwicklung
mit , wodurch die beobachteten Längenmaßstäbe hier in Einheiten von betrachtet werden.
Der beobachtete Radius des Schattens in Polarkoordinaten ist damit . Aus der polaren Ansicht bei rotiert das Schwarze Loch aus der Sicht des Beobachters gegen den Uhrzeigersinn aus dem Blickwinkel dagegen im Uhrzeigersinn.
Der beobachtete Radius des Schattens eines nichtrotierenden Schwarzen Lochs liegt damit bei bzw. knapp über .
Das trifft auch für rotierende Schwarze Löcher zu, wenn diese aus der polaren Perspektive betrachtet werden. Je weiter die Position des Beobachters jedoch in der äquatorialen Ebene liegt, umso stärker wird die asymmetrische Verzerrung: auf der dem Beobachter entgegenrotierenden Seite wird der Schatten eingedellt, auf der von ihm wegrotierenden Seite ausgebeult.
Drehimpuls Für würde sich theoretisch eine nackte Singularität bilden. Kip Thorne folgerte aber bereits 1974 aus Computersimulationen, dass Schwarze Löcher diesen Grenzwert nicht erreichen; seine Simulationen deuteten damals auf einen maximalen Kerrparameter von .Kip Thorne: Disk-Accretion onto a Black Hole. II. Evolution of the Hole. In: Astrophysical Journal, Band 191, 1974, S. 507–520, . Simulationen zur Kollision zweier Schwarzer Löcher bei hohen Energien von 2009 von E. Berti und Kollegen zeigten, dass der Grenzwert mit zwar fast erreicht, aber nicht überschritten wird, da Energie und Drehimpuls durch Gravitationswellen abgestrahlt werden.Berti u. a: Cross section, final spin and zoom-whirl behavior in high-energy black hole collisions. In: Phys. Rev. Lett., Band 103, 2009, S. 131102, . Allgemein wird auch aufgrund der Cosmic-Censorship-Hypothese davon ausgegangen, dass der Grenzwert prinzipiell nicht überschritten werden kann.Orlando Luongo, Hernando Quevedo: Characterizing repulsive gravity with curvature eigenvalues. (PDF; 253 kB).