Als mathematische Modellierung der Epidemiologie bezeichnet man die mathematische Modellierung einer Infektionskrankheit innerhalb einer Population, um den epidemiologischen Verlauf zu quantifizieren oder die künftige Entwicklung zu prognostizieren. Mittels einiger Grundannahmen lassen sich Parameter für verschiedene Infektionskrankheiten finden, mit denen sich beispielsweise Kalkulationen über die Auswirkung von Impfprogrammen aufstellen lassen.

Grundlegende Konzepte Die Basisreproduktionszahl ist die Anzahl der Sekundärfälle, die ein Infizierter während seiner infektiösen Phase in einer homogen durchmischten Population durchschnittlich durch Ansteckung erzeugt. Dabei wird davon ausgegangen, dass in der Population noch keine Immunität existiert. Sobald ein Teil der Bevölkerung entweder nach überstandener Krankheit oder durch Impfung immun ist, gilt die effektive Reproduktionszahl . „Die effektive Reproduktionsrate … ist gleich der Basisrate …, abgezinst um … den Anteil der empfänglichen Wirtspopulation …“ an der Gesamtbevölkerung.Roy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 17. In einer Formel:

Der Umfang der Bevölkerung wird durch das Symbol erfasst. Die Zahl , von , beziffert die Anzahl der für das Virus Empfänglichen, womit die nicht-immune Bevölkerung gemeint ist. Entsprechend ist der Anteil der Empfänglichen an der Gesamtbevölkerung, so dass gilt. Das ist eine Zahl zwischen 0 und 1. Vom Robert Koch-Institut ist während der Corona-Pandemie täglich die Zahl der neu und der insgesamt Infizierten in Deutschland mitgeteilt worden. Dabei handelt es sich, genauer gesagt, um die positiv Getesteten. Davon ist die Zahl der Infektiösen, auch als aktive Infizierte bezeichnet, zu unterscheiden, die in den mathematischen Modellen durch das Symbol dargestellt wird. ist die Zahl der Infizierten, die ansteckend sind () – es handelt sich um eine Teilmenge der Infizierten. Teilt man diese Zahl durch , so erhält man den Anteil der Infektiösen an der Gesamtbevölkerung: . Die Zahl der Genesenen und sodann als immun angenommenen Menschen wird mit der Variablen () erfasst, wobei eine gewisse Verwechslungsgefahr mit der Reproduktionszahl besteht.

Die oben eingeführte Symbolik folgt HethcoteHerbert W. Hethcote: The Mathematics of Infectious Diseases. In: SIAM-Review, 2000, Band 42, Nr. 4, S. 599–653. Quelle: JSTOR, abgerufen am 25. Juli 2021 und folgt den üblichen Modellbezeichnungen, z. B. für das SIR-Modell, das die Dynamik und Entwicklung der Gruppen , und darstellt. In den Standardwerken von BaileyNorman T. J. Bailey: The Mathematical Theory of Infectious Diseases and its Applications. Zweite Auflage, London und High Wycombe 1975, ISBN 0852642318, S. 33. und von Anderson/MayRoy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. werden die Symbole , und anstelle von , und verwendet.

Neben den grundlegenden Variablen, denen eine Einteilung der Bevölkerung in einander ausschließende Gruppen entspricht, gibt es weitere, mit deren Hilfe epidemiologische Modelle verfeinert und damit realitätsnäher gestaltet werden können. Wird eine zeitweilige Immunität durch Geburt übertragen, so bilden diejenigen neu geborenen Kinder, die eine passive Immunität aufweisen, eine separate Gruppe , die zumindest zeitweilig von den anderen Gruppen abzugrenzen ist. Des Weiteren führt eine Infektion in der Regel erst nach einer gewissen Zeit – der Latenzzeit – dazu, dass die Infizierten infektiös, also ansteckend, werden. Kennt man die durchschnittliche Dauer der Latenzzeit, so kann man in das Modell eine weitere Gruppe einführen, die zwischen die Empfänglichen und die Infektiösen tritt ( steht für ). Dagegen erzeugt die Inkubationszeit – die Zeit zwischen einer Infektion und dem Ausbruch der Krankheit – keine separate Gruppe von Menschen, die modelltheoretisch berücksichtigt werden müsste. Erlöschen nach einer gewissen Zeit die Abwehrkräfte der Genesenen oder Geimpften, so bilden sie ebenfalls keine neue Gruppe, sondern werden den Empfänglichen zugerechnet. Die Entscheidung, welche Variablen in ein Modell aufgenommen werden, hängt von den Merkmalen der zu modellierenden Krankheit und dem Zweck des Modells ab.Herbert W. Hethcote: The Mathematics of Infectious Diseases. In: SIAM-Review, 2000, Band 42, Nr. 4, S. 599–653. Quelle: JSTOR, abgerufen am 25. Juli 2021. Hier: S. 600f. Die Variablen erfassen den Umfang der jeweiligen Bevölkerungsgruppe zahlenmäßig. Deshalb hängt die Modellierung auch von der Verfügbarkeit entsprechender Daten ab.

Modellklassen

Epidemiologische Modelle lassen sich in stochastische und deterministische Modelle unterteilen. Wahrscheinlichkeiten spielen in beiden Modellklassen eine Rolle, wie das grundlegende „mass action principle“ belegt, das HamerWilliam Heaton Hamer: Epidemic disease in England—The Evidence of Variability and of Persistency of Type. In: The Milroy Lectures, London 1906, S. 51–53. Abgedruckt in: The Lancet, 1906, Band 167, Nr. 4305, S. 569–574, doi:10.1016/S0140-6736(01)80187-2. 1906 einführte. In moderner Interpretation besagt es, dass die Nettoausbreitungsrate der Infektion proportional zum Produkt aus der Dichte der empfänglichen Personen in der Bevölkerung und der Dichte der infektiösen Personen ist.Roy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 7. Anwendung findet es sowohl in stochastischen als auch in deterministischen Modellen. Die Gültigkeit des Prinzips setzt eine solche soziale Mischung der verschiedenen (epidemiologisch relevanten) Bevölkerungsgruppen voraus, dass die Wahrscheinlichkeit, infiziert zu werden, für alle Empfänglichen die gleiche ist, und die Wahrscheinlichkeit, auf eine für das Virus empfängliche Person zu treffen, für alle Infizierte die gleiche ist (strenge Homogenitätshypothese).

Deterministische Modelle lassen sich dadurch charakterisieren, dass der zukünftige Zustand des epidemischen Prozesses bestimmt werden kann, wenn die anfänglichen Zahlen der Empfänglichen und der Infektiösen sowie die Ansteckungs-, die Genesungs-, die Geburten- und die Sterblichkeitsraten gegeben sind.Norman T. J. Bailey: The Mathematical Theory of Infectious Diseases and its Applications. Zweite Auflage, London und High Wycombe 1975, ISBN 0852642318, S. 11. Während man bei deterministischen Modellen davon ausgeht, dass die tatsächliche Zahl der neuen Fälle in einem kurzen Zeitintervall proportional zur Anzahl der empfänglichen und der infektiösen Personen sowie zur Länge des Intervalls ist, geht man bei stochastischen Modellen davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit von neuen Fällen in einem kurzen Intervall proportional zu den gleichen Faktoren ist.Norman T. J. Bailey: The Mathematical Theory of Infectious Diseases and its Applications. Zweite Auflage, London und High Wycombe 1975, ISBN 0852642318, S. 12.

Stochastischer Ansatz für das SIR-Modell

Die Epidemie werde durch Infizierte ausgelöst, die kein Teil der Bevölkerung sind. Die Gesamtzahl der Bevölkerung wird als (annähernd) konstant angenommen und ist gleich . Die Summe der für eine Infektion Empfänglichen , der (sekundären) Infizierten sowie der Genesenen (plus Verstorbene) ist gleich der Bevölkerungszahl plus :

sei die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zum Zeitpunkt noch empfängliche Personen nicht infiziert und bereits Infektiöse im Umlauf sind. Die Wahrscheinlichkeit einer Neuinfektion während der Zeit ist nach dem „mass action principle“ proportional zu , wobei die Transmissionsrate ein Virus-spezifischer Proportionalitätsfaktor ist, der die zeitliche Häufigkeit bemisst, mit der Kontakte Sekundärinfektionen verursachen. Die Wahrscheinlichkeit, aus der Gruppe der Infektiösen auszuscheiden, ist gleich , wobei wieder ein Proportionalitätsfaktor von der Dimension einer inversen Zeit ist. Die folgenden Argumente über die Beziehung zwischen benachbarten Wahrscheinlichkeitszuständen erläutern die grundlegende Gleichung:

Während der Zeitspanne gelangt die Bevölkerung nur unter den folgenden drei Bedingungen in den Zustand : (i) Es gibt Empfängliche und Infektiöse zum Zeitpunkt die eine neue Infektion mit der Wahrscheinlichkeit auslösen; (ii) zum Zeitpunkt gibt es bereits Empfängliche und Infektiöse; ein Zustand, der mit der Wahrscheinlichkeit auftritt und mit der (bedingten) Wahrscheinlichkeit zu keiner weiteren Infektion führt und außerdem während erhalten bleibt, wenn zur gleichen Zeit mit der (bedingten) Wahrscheinlichkeit keine Genesung stattfindet; (iii) es gibt Empfängliche und Infektiöse, die in der Zeitspanne die Genesung eines Infektiösen nach sich ziehen, und zwar mit der Wahrscheinlichkeit . Bei Vernachlässigung von Termen höherer Ordnung in ergibt sich:

Daraus folgt eine Differenzengleichung, die beim Grenzübergang die folgende Differentialgleichung ergibt:

Für gilt , und es folgt:

,

weil , und .

Bailey verweist auf Lösungsmöglichkeiten der obigen Differentialgleichung mit Hilfe der erzeugenden Funktion der Wahrscheinlichkeiten oder mit einer Laplace-Transformation, beurteilt aber diese Lösungswege als extrem arbeitsaufwändig.Norman T. J. Bailey: The Mathematical Theory of Infectious Diseases and its Applications. Zweite Auflage, London und High Wycombe 1975, ISBN 0852642318, S. 89–93.

Deterministische Modelle Statische Modelle

Bei diesem Modelltyp, der zu den deterministischen Modellen zählt, wird angenommen, dass die charakteristischen Variablen des SIR-Modells nur vom Alter der betroffenen Personen (in der Epidemiologie spricht man von „Wirten“, ) abhängen, nicht aber von der Zeit. Somit spiegeln die entsprechenden Modelle den altersmäßigen Querschnitt der Bevölkerung zu einer bestimmten (explizit nicht ausgewiesenen) Zeit hinsichtlich der herrschenden epidemiologischen Struktur wider. Für jedes Alter erfüllt diese Struktur folgende Gleichung:

Es wird in der Regel und näherungsweise angenommen, dass der Umfang der Bevölkerung konstant bleibt, Geburten und Todesfälle sich also ausgleichen (Steady-State-Bedingung).

Auf dieser demographischen Grundlage wird die epidemiologisch relevante Struktur durch folgendes Differentialgleichungssystem beschrieben:Roy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 66 ff.

Dabei spielen folgende, bislang noch nicht erwähnte Parameter eine Rolle:

ist die vom Alter abhängige Sterberate. ist die durchschnittliche Pro-Kopf-Rate, infiziert zu werden. Anderson und May nennen diesen Parameter „force of infection“Roy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 63. und unterscheiden ihn von dem „transmission parameter“ , der vor allem von der Art Krankheit abhängt. Im Falle des statischen Modells gilt:Roy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 75.

wobei die Gesamtzahl der Infektiösen ist. Setzt man diese Gleichung in die zweite Differentialgleichung ein, so erkennt man Hamers Prinzip wieder.

ist die Übergangsintensität der Infektiösen in die Gruppe der Genesenen. Entscheidend dabei ist die durchschnittliche Dauer der Infektiosität , so dass

gilt.

Addition der drei Differentialgleichungen liefert eine neue, deren Lösung über Trennung der Variablen den altersabhängigen Umfang der Bevölkerung als

mit der altersabhängigen Überlebenswahrscheinlichkeit

ergibt, wobei die Zahl der Geburten ist.

Wie man leicht nachrechnet, hat das Differentialgleichungssystem folgende Lösungen:Roy M. Anderson, Robert M. May: Infectious Diseases of Humans. Dynamics and Control. Oxford, New York, Tokio, 1991, ISBN 0198545991. S. 67.