Apollonisches Problem

mini|Abbildung 1: Eine Lösung (pink) des Apollonios-Problems. Die gegebenen Kreise sind schwarz dargestellt. mini|Abbildung 2: Beispiel von drei Kreisen (schwarz) und den zugehörigen acht Lösungskreisen

Das Apollonische Problem (Problem des Apollonios) ist eines der berühmtesten Probleme der antiken Geometrie. Es geht darum, mit Zirkel und Lineal die Kreise zu konstruieren, die drei beliebige vorgegebene Kreise berühren. Apollonios von Perge (* ca. 265 v. Chr.; † ca. 190 v. Chr.) widmet diesem Problem ein nicht erhaltenes Buch (Über Berührungen).

Da man bei den Ausgangskreisen auch von einem unendlich kleinen Radius und einem unendlich großen Radius ausgehen kann, kann nicht nur von drei Kreisen, sondern auch von Punkten und Geraden (Tangenten) ausgegangen werden. Insgesamt gibt es zehn Kombinationsmöglichkeiten für die gegebenen Stücke, die weiter unten aufgeführt sind.

Da die vollständige Lösung der Probleme alle Konstruktionsfälle mit Berührungen (Tangenten) von Kreisen, Punkten und Geraden löst, sind natürlich auch die Berührkreise am Dreieck enthalten (Ankreis, Inkreis, Umkreis).

Geschichte Ein reiches Repertoire von geometrischen und algebraischen Methoden wurde entwickelt, um das apollonische Problem zu lösen, das als „das berühmteste aller geometrischen Probleme“ bezeichnet wurde. Die ursprüngliche Vorgehensweise von Apollonios ist verlorengegangen, aber von François Viète und anderen wurden Rekonstruktionen entwickelt, die auf Hinweisen in der Beschreibung durch Pappos basieren.A. Bruen, J.C. Fisher, J.B. Wilker: Apollonius by Inversion. In: Mathematics Magazine. 56, 1983, S. 97–103 Die erste neue Lösungsmethode wurde 1596 von Adriaan van Roomen veröffentlicht, der die Mittelpunkte der Lösungskreise als die Schnittpunkte zweier Hyperbeln fand. Van Roomens Methode wurde 1687 durch Isaac Newton in seinen Principia und durch John Casey im Jahre 1881 verfeinert.

Trotz der erfolgreichen Lösung des Apollonius-Problems hat van Roomens Methode einen Nachteil. Eine geschätzte Eigenschaft in der klassischen euklidischen Geometrie ist die Möglichkeit, Probleme ausschließlich mit Zirkel und Lineal zu lösen. Viele Konstruktionen sind bei Beschränkung auf diese Hilfsmittel unmöglich, beispielsweise die Winkeldreiteilung. Viele dieser „unmöglichen“ Probleme lassen sich jedoch durch Schnitte von Kurven wie Hyperbeln, Ellipsen und Parabeln (Kegelschnitte) lösen. So kann die Würfelverdoppelung (das Problem, einen Würfel mit dem doppelten Volumen eines gegebenen Würfels zu konstruieren) nicht mit Zirkel und Lineal gelöst werden, aber Menaichmus zeigte, dass die Lösung durch den Schnitt zweier Parabeln gefunden werden kann. Daher ließ sich aufgrund der Lösung durch van Roomen – die auf dem Schnitt zweier Hyperbeln beruhte – nicht entscheiden, ob eine Konstruktion mit Zirkel und Lineal möglich ist.

Van Roomens Freund François Viète, der ursprünglich van Roomen dazu gebracht hatte, sich mit dem apollonischen Problem zu befassen, entwickelte eine Methode, die nur Zirkel und Lineal verwendete. Vor Erscheinen der Lösung von Viète zweifelte Regiomontanus an der Möglichkeit einer Konstruktion mit Zirkel und Lineal. Viète löste zuerst einige einfache Spezialfälle des Apollonios-Problems, etwa die Bestimmung eines Kreises durch drei gegebene Punkte, das nur eine Lösung hat, wenn die Punkte verschieden sind. Darauf aufbauend löste er kompliziertere Spezialfälle, in einigen Fällen durch Verkleinern oder Vergrößern der gegebenen Kreise.H. Dörrie: The Tangency Problem of Apollonius. In: 100 Great Problems of Elementary Mathematics: Their History and Solutions. 1965, S. 154–160. Gemäß dem Bericht von Pappos von Alexandria im 4. Jahrhundert folgte das originale Werk von Apollonios zu diesem Problem — mit dem Titel (, "Berührungen"; Lateinisch: De tactionibus, De contactibus) — einem ähnlichen fortschreitenden Zugang. Daher wird Viètes Lösung als plausible Rekonstruktion der Lösung von Apollonios betrachtet, auch wenn weitere Rekonstruktionen unabhängig von drei verschiedenen Autoren publiziert wurden.

Verschiedene andere geometrische Lösungen des Apollonios-Problems wurden im 19. Jahrhundert entwickelt. Die bemerkenswertesten Lösungen sind die von Jean-Victor Poncelet (1811) und von Joseph Diaz Gergonne (1814). Während der Beweis von Poncelet auf Ähnlichkeitszentren von Kreisen und der Potenz eines Punktes beruht, nutzt die Methode von Gergonne die konjugierte Relation zwischen Geraden und ihren Polen in einem Kreis aus. Methoden, welche die Kreisspiegelung verwenden, wurden durch Julius Peter Christian Petersen im Jahre 1879 eingeführt; ein Beispiel ist die Ring-Lösungsmethode von H. S. M. Coxeter.Harold Scott MacDonald Coxeter: The Problem of Apollonius. In: The American Mathematical Monthly. Vol. 75, 1968, S. 5–15. Einen weiteren Zugang liefert die Lie-Geometrie von Sophus Lie.

Algebraische Lösungen des apollonischen Problems wurden im 17. Jahrhundert von René Descartes und Prinzessin Elisabeth von Böhmen gefunden, die allerdings ziemlich kompliziert sind. Praktisch verwendbare algebraische Methoden wurden im späten 18. und im 19. Jahrhundert durch verschiedene Mathematiker entwickelt, darunter Leonhard Euler, Nikolaus Fuss, Carl Friedrich Gauß, Lazare Carnot und Augustin Louis Cauchy.

Setzt man die Konstruktion zu kleineren sich berührenden Kreisen fort, wird man zu Apollonischen Kreispackungen geführt, die in den 2000er Jahren durch Verbindungen zu homogener Dynamik und Zahlentheorie Forschungsinteresse auf sich zogen (u. a. Jeffrey Lagarias, Allan Wilks, Peter Sarnak, Alex Kontorovich, Hee Oh). Sie sind außerdem Beispiele für Fraktale.

Lösungsmethoden Schnitt von Hyperbeln mini|Abbildung 3: Zwei gegebene Kreise (schwarz) und ein Kreis, der beide berührt (pink). Die Abstände von Mittelpunkt zu Mittelpunkt, d1 und d2, sind gleich bzw. ; daher ist ihre Differenz unabhängig von rs.

Die Lösung von Adriaan van Roomen (1596) basiert auf dem Schnitt zweier Hyperbeln. Die gegebenen Kreise seien mit C1, C2 und C3 bezeichnet. Van Roomen löste das allgemeine Problem durch Zurückführung auf ein einfacheres Problem, nämlich die Bestimmung von Kreisen, die zwei gegebene Kreise berühren, etwa C1 und C2. Er stellte fest, dass der Mittelpunkt eines Kreises, der die beiden gegebenen Kreise berührt, auf einer Hyperbel liegen muss, deren Brennpunkte die Mittelpunkte der gegebenen Kreise sind. Um das zu verstehen, sollen die Radien des Lösungskreises und der zwei gegebenen Kreise mit rs, r1 bzw. r2 bezeichnet werden (Abbildung 3). Der Abstand d1 zwischen den Mittelpunkten des Lösungskreises und von C1 ist entweder oder – je nachdem, ob diese Kreise ausschließend oder einschließend berührt werden. Entsprechend ist der Abstand d2 zwischen den Mittelpunkten des Lösungskreises und von C2 entweder gleich oder – wieder abhängig von der Art der Berührung. Daher ist die Differenz dieser Abstände immer eine Konstante, die unabhängig von rs ist. Diese Eigenschaft einer festen Differenz der Abstände von zwei Brennpunkten charakterisiert Hyperbeln; folglich muss der Mittelpunkt des Lösungskreises auf einer Hyperbel liegen. Eine zweite Hyperbel kann gezeichnet werden für die beiden gegebenen Kreise C2 und C3, wobei die Art der Berührung zwischen dem Lösungskreis und C2 konsistent sein sollte zur ersten Hyperbel. Der Schnitt der beiden Hyperbeln (falls nicht leer) liefert den Mittelpunkt des Lösungskreises mit den vorgegebenen Berührungseigenschaften. Die gesamte Menge der Lösungen des apollonischen Problems findet man, indem man alle möglichen Kombinationen von ein- oder ausschließender Berührung der drei gegebenen Kreise betrachtet.

Isaac Newton (1687) verbesserte van Roomens Lösung dadurch, dass die Mittelpunkte der Lösungskreise durch Schnitt einer Geraden und eines Kreises ermittelt wurden. Newton formulierte das Apollonios-Problem als ein Problem der Trilateration: die Bestimmung eines Punktes Z aus drei gegebenen Punkten A, B und C, sodass die Differenzen der Abstände zwischen Z und den drei gegebenen Punkten bestimmte Werte haben. Diese vier Punkte entsprechen dem Mittelpunkt des Lösungskreises (Z) und den Mittelpunkten der drei gegebenen Kreise (A, B und C).

mini|links|Abbildung 4: Die Menge der Punkte mit einem konstanten Verhältnis der Abstände d1/d2 zu zwei festen Punkten ist ein Kreis.

Anstelle der zwei Hyperbeln konstruiert Newton ihre Leitlinien. Für jede Hyperbel ist das Verhältnis der Abstände eines Punktes Z zu einem Brennpunkt A und der Leitlinie eine Konstante, die Exzentrizität genannt wird. Die zwei Leitlinien schneiden sich in einem Punkt T, und aus den beiden bekannten Abstandsverhältnissen konstruiert Newton eine Gerade durch T, auf der Z liegen muss. Das Abstandsverhältnis TZ/TA ist jedoch ebenfalls bekannt; daher liegt Z auch auf einem bekannten Kreis, da nach Apollonios ein Kreis definiert werden kann als die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei gegebenen festen Punkten ein bestimmtes Verhältnis haben (Kreis des Apollonios). (Diese Definition ist übrigens die Grundlage der bipolaren Koordinaten.) Das Problem des Apollonios kann also auf den Schnitt von Gerade und Kreis zurückgeführt werden.

Viètes Rekonstruktion Wie unten beschrieben, hat das apollonische Problem zehn Spezialfälle, die sich in der Art der drei gegebenen Objekte, nämlich Kreise (K), Geraden (G) oder Punkte (P) unterscheiden. Gewöhnlich werden diese zehn Fälle mit Abkürzungen wie KKP bezeichnet. Viète löste alle diese Fälle durch Konstruktionen mit Zirkel und Lineal; dabei verwendete er die Lösungen der einfacheren Fälle zur Behandlung der komplizierteren Fälle.

mini|Abbildung 5: Die Berührung von Kreisen bleibt erhalten, wenn ihre Radien um gleiche Beträge geändert werden. Ein Lösungskreis (pink) muss größer oder kleiner werden mit einem einschließend berührenden Kreis (schwarzer Kreis rechts), während sich bei ausschließender Berührung (zwei schwarze Kreise links) die Kreise entgegengesetzt verhalten

Viète begann mit der Lösung des Falles PPP (drei Punkte) und folgte dabei der Methode von Euklid, wie sie in den Elementen beschrieben ist. Darauf aufbauend, leitete er ein Lemma ab, das dem Satz über die Potenz eines Punktes entspricht, und löste mit dessen Hilfe den Fall GPP (eine Gerade, zwei Punkte). Ebenfalls nach Euklid löste Viète den Fall GGG (drei Geraden) durch Verwendung von Winkelhalbierenden. Anschließend leitete er ein Lemma ab, um das Lot zu einer Winkelhalbierenden durch einen gegebenen Punkt zu konstruieren, womit der Fall GGP (zwei Geraden, ein Punkt) erledigt war. Damit waren die ersten vier Fälle des Apollonios-Problems gelöst, bei denen keine Kreise gegeben waren.

Um die verbleibenden Probleme zu lösen, nutzte Viète die Tatsache aus, dass die gegebenen Kreise und ein Lösungskreis ihre Größe ändern können, ohne dass sich an der Berührung etwas ändert (Abbildung 5). Wenn der Radius des Lösungskreises um einen Betrag verändert wird, muss sich der Radius der gegebenen Kreise bei einschließender Berührung ebenfalls um ändern, bei ausschließender Berührung dagegen um . Wenn also der Lösungskreis anschwillt, müssen die gegebenen Kreise bei einschließender Berührung genauso anschwellen und bei ausschließender Berührung sich entgegengesetzt verhalten, wenn die Berührungseigenschaft erhalten bleiben soll.