Existential Graphs (die deutschen Übersetzungen „existenzielle Graphen“ und „Existenzgraphen“ sind nicht sehr gebräuchlich) sind ein logisches System des US-amerikanischen Logikers und Philosophen Charles Sanders Peirce. Sie umfassen sowohl eine eigene graphische Schreibweise (Notation) für logische Aussagen als auch einen logischen Kalkül, d. h. (im Wesentlichen) ein formales System von Schlussregeln, mit denen bestehende Aussagen so umgeformt werden können, dass daraus neue Aussagen entstehen, die aus ersteren folgen.
Einleitung
Peirce empfand die algebraische Schreibweise (d. h. Formelschreibweise) der Logik, vor allem die der zu seinen Lebzeiten noch sehr neuen, von ihm selbst wesentlich mitentwickelten„Development of first-order logic independently of Frege, anticipating prenex and Skolem normal forms“ (Hammer 1998, Seite 489) Prädikatenlogik philosophisch als unbefriedigend, weil den Formelzeichen ihre Bedeutung durch bloße Konvention zukomme. Im Gegensatz dazu strebte er eine Schreibweise an, bei der die Zeichen ihre Bedeutung buchstäblich in sich tragen„Peirce wants a sign which will not merely be conventionally understood […], but which will ″wear its meaning on its sleeve,″ so to speak“ (Zeman 1964, Seite 21, zitiert nach der Online-Ausgabe) – in der Begrifflichkeit seiner Zeichentheorie: ein System ikonischer Zeichen, die den bezeichneten Gegenständen und Relationen ähneln oder gleichen.„[algebraic formulas] are not ‚iconic‘ – that is, they do not resemble the objects or relationships they represent. Peirce took this to be a defect.“ (Roberts 1973, Seite 17)
So war die Entwicklung eines ikonischen, graphischen und – wie er beabsichtigte – damit intuitiven und leicht erlernbaren logischen Systems ein Projekt, das Peirce zeitlebens beschäftigte. Nach mindestens einem abgebrochenen Ansatz – den „Entitative Graphs“ – entstand schließlich von 1896 an das geschlossene System der Existential Graphs. Obwohl von ihrem Schöpfer als klar überlegenes und intuitiveres System betrachtet, waren sie als Schreibweise und als Kalkül ohne größeren Einfluss auf die Geschichte der Logik; zurückgeführt wird das einerseits darauf, dass Peirce zu diesem Thema nur wenig publizierte und die veröffentlichten Texte nicht sehr verständlich geschrieben seien;„[Peirce’s] graphical publications were few and not easy to understand, as he admitted himself.“ (Roberts 1973, Seite 12) und andererseits darauf, dass die lineare Formelschreibweise in der Hand von Fachleuten das weniger aufwändig handhabbare Werkzeug sei.„[T]he syntax of Peirce’s graphs lacks, at least in general, the combinatorial elegance and simplicity of linear notations“ (Hammer 1998, Seite 502) So wurden die Existential Graphs nur wenig beachtetRoberts weist darauf hin, dass selbst das Standardwerk zur Geschichte der Logik, Kneale/Kneale: The Development of Logic. Clarendon Press. Oxford 1962, ISBN 0-19-824773-7, die logischen Diagramme Peirce’ nicht erwähnt. oder als unhandliche Schreibweise angesehen.„One questions the efficacy of Peirce’s diagrams […]. Their basic machinery is too complex […].“ (Quine: Review of Collected Papers of Charles Sanders Peirce, Volume 4: The Simplest Mathematics, Isis 22, Seite 552, zitiert nach Roberts 1973, Seite 13)
Zu besserem Verständnis führten ab 1963 Arbeiten von Don D. Roberts und J. Jay Zeman, in denen Peirce’ graphische Systeme systematisch untersucht und dargestellt wurden. Eine praktische Rolle spielt heute allerdings nur eine moderne Anwendung, die 1976 von John F. Sowa eingeführten Begriffsgraphen, die in der Informatik zur Wissensrepräsentation verwendet werden. Als Forschungsgegenstand treten die Existential Graphs im Zusammenhang mit einem wachsenden Interesse an graphischer Logik wieder vermehrt in Erscheinung,„Aside from their historic interest, Peirce’s graphical formalisms are of current interest. Sowa’s system of conceptual graphs […] is based on Peirce’s work. [Other work] also indicates increasing interest in the logic of graphical reasoning.“ (Hammer 1998, Seite 489) was sich auch in Versuchen äußert, die von Peirce angegebenen Schlussregeln durch intuitivere zu ersetzen.siehe z. B. Sun-Joo Shin: „Reconstituting Beta Graphs into an Efficacious System“, Journal of Logic, Language and Information archive, Volume 8, Issue 3, Juli 1999, Seite 273–295
Das Gesamtsystem der Existential Graphs setzt sich aus drei aufeinander aufbauenden Teilsystemen zusammen, den Alphagraphen, den Betagraphen und den Gammagraphen. Die Alphagraphen sind ein rein aussagenlogisches System. Auf sie aufbauend entstehen als echte Erweiterung die Betagraphen, ein prädikatenlogisches System der ersten Stufe. Die bis heute nicht vollständig erforschten und von Peirce nicht vollendeten Gammagraphen werden als Weiterentwicklung der Alpha- und Betagraphen verstanden. Bei geeigneter Interpretation decken die Gammagraphen Prädikatenlogik höherer Stufe sowie Modallogik ab. Noch 1903 begann Peirce mit einem neuen Ansatz, den „Tinctured Existential Graphs,“, mit denen er die bisherigen Systeme der Alpha-, Beta- und Gammagraphen ablösen und deren Ausdrucksstärke und Leistungsfähigkeit in einem einzigen neuen System vereinen wollte. Wie die Gammagraphen blieben die „Tinctured Existential Graphs“ unvollendet.
Als Kalküle sind die Alpha- und Betagraphen sowohl korrekt (d. h., alle als Alpha- bzw. Betagraphen herleitbaren Ausdrücke sind aussagen- bzw. prädikatenlogisch semantisch gültig) als auch vollständig (d. h., alle aussagen- bzw. prädikatenlogisch semantisch gültigen Ausdrücke sind als Alpha- bzw. Betagraphen herleitbar).Die Beweise hierfür lieferte 1964 J. Jay Zeman in seiner Dissertation (siehe Literaturliste); für die Alphagraphen siehe auch die Arbeit von White, 1984
Die Wahl der Bezeichnung „Existential Graphs“ begründet Peirce damit, dass der einfachste sinnvolle und wohlgeformte Betagraph eine Existenzaussage trifft.Genauer, aber nicht ganz so verständlich: damit, dass das „fundamental symbol“ (Grundzeichen) der Betagraphen eine „relation of existence“ (Existenzrelation) ausdrückt (zitiert nach Roberts, Seite 30) Peirce verwendet diese Bezeichnung erstmals Ende 1897;Brief an William James, 18. Dezember 1897, zitiert nach Roberts, Seite 30 zuvor spricht er von „positive logical graphs“ oder einfach von seinem System logischer Diagramme.
Der vorliegende Artikel behandelt die Alpha- und Betagraphen als den vollendeten und am besten erforschten Teil von Peirce’ System. Darüber hinausgehende Informationen bieten die in der Literaturliste genannten Werke.
Alphagraphen
Notation der Alphagraphen mini|hochkant=1.5|Alphagraphen
Atomare Aussagen, d. h. solche Aussagen, die ihrerseits nicht aus anderen Aussagen zusammengesetzt sind, werden – wie in der Aussagenlogik üblich – durch Buchstaben ausgedrückt; zum Beispiel kann die atomare Aussage „Es regnet“ durch den Buchstaben „P“ ausgedrückt werden. Die Konjunktion mehrerer – atomarer oder nicht atomarer – Aussagen wird durch ihr Nebeneinanderschreiben ausgedrückt. Um zu sagen, dass zwei Aussagen P und Q wahr sind, schreibt man daher „PQ“.
Neben der Konjunktion umfasst das System die Negation. Sie wird ausgedrückt, indem der zu verneinende Ausdruck – egal ob einfach oder zusammengesetzt – von einem geschlossenen Linienzug umgeben wird, sozusagen „eingeringelt“ wird. Spezielle Anforderungen an die Gestalt des Linienzugs werden keine gemacht, es ist aber gebräuchlich, einen Kreis oder ein Oval zu verwenden. Den geschlossenen Linienzug, der eine Aussage verneint, nennt Peirce den Cut (wörtlich: Schnitt). Bildlicher Hintergrund des Cuts ist, dass auf dem Blatt Papier, auf dem geschrieben wird – dem sheet of assertion, Annahmeblatt –, die als wahr angenommenen Aussagen niedergeschrieben werden. Falsche Aussagen müssen vom Bereich der wahren Aussagen ausgeschlossen, abgegrenzt, „abgeschnitten“ werden, und ebendiese Funktion übernimmt der Cut.
Um ein Konditional auszudrücken, d. h., um zu sagen, dass eine Aussage P eine hinreichende Bedingung für eine Aussage Q ist, wird eine Schreibweise gewählt, die im Englischen als „P scrolls Q“, „P ringelt Q ein“, bezeichnet wird: Die Aussage Q, also der bedingte Satz, steht innerhalb eines eigenen Cuts gemeinsam mit seiner Bedingung, der Aussage P, in einem zweiten, äußeren Cut (siehe Abbildung, Punkt c1 und c2). Diese Schreibweise ist im logischen System der Existential Graphs atomar eingeführt, aber im Wissen, dass es sich bei dem Cut um die Negation und beim Nebeneinanderschreiben um die Konjunktion handelt, leicht mit den Wahrheitsbedingungen dieser beiden Verknüpfungen in Deckung zu bringen: Das Konditional, P→Q, ist äquivalent mit der Negation ¬(P ∧ ¬Q), und genau das ist die Aussage des „P scrolls Q“, die genau den Fall des wahren P und falschen Q vom sheet of assertion abgrenzt, „herausschneidet“.
Die Disjunktion wird ausgedrückt, indem die beiden Disjunkte – jeweils für sich in einzelne Cuts gesetzt – nebeneinander geschrieben und mit einem zusätzlichen äußeren Cut versehen werden. Man sieht leicht, dass diese Schreibweise in moderner Notation die Aussage ¬(¬P∧¬Q) darstellt, eine Aussage, die mit P∨Q äquivalent ist. Bildlicher Hintergrund ist wieder, dass die Disjunktion den Fall vom sheet of assertion ausschließt, dass sowohl P als auch Q falsch sind.
Mit den beiden Verknüpfungen der Alphagraphen, der Verneinung (dem Cut) und der Und-Verknüpfung (Aufschreiben mehrerer Aussagen auf dem Annahmeblatt) lassen sich – wie für das Konditional und die Disjunktion beispielhaft gezeigt wurde – alle anderen Verknüpfungen der zweiwertigen Aussagenlogik darstellen (siehe funktionale Vollständigkeit von Junktoren). Alphagraphen sind damit eine vollwertige Schreibweise für die Aussagenlogik.
Wenn Aussagen in der Schreibweise der Alphagraphen von elektronischen Rechenanlagen verarbeitet oder einfach mit Textverarbeitungssystemen bzw. früher Schreibmaschinen wiedergegeben werden sollen, behilft man sich oft damit, die Cuts durch Klammerungen auszudrücken. Statt eines geschlossenen Linienzugs um den Satz P zu zeichnen, schreibt man in diesem Fall (P). Das Konditional, „P scrolls Q“, wird in dieser Schreibweise zu (P(Q)). Aus typographischen Gründen wird auch in diesem Artikel so vorgegangen.
Schlussregeln der Alphagraphen
Um die Regeln formulieren zu können, ist es zunächst erforderlich, das Konzept der Ebene einer Aussage (in der Literatur: „proposition level“) zu definieren. Die Ebene einer – elementaren oder zusammengesetzten – Aussage ist definiert als die Anzahl der Cuts, von denen diese Aussage direkt oder indirekt umschlossen ist. Zum Beispiel ist im Ausdruck (P(Q)) die Ebene von P und jene von (Q) 1, weil sowohl P als auch (Q) nur Teil des äußeren Cuts sind. Die Ebene von Q hingegen ist 2, weil Q nicht nur unmittelbar von einem Cut umgeben ist, sondern dieser wiederum Teil des äußeren Cuts ist.
Nach dieser Vorbemerkung lassen sich die Schlussregeln wie folgt angeben:Die Darstellung der Schlussregeln und ihre Nummerierung folgt der Darstellung in Don D. Roberts Buch The Existential Graphs of Charles S. Peirce, Seite 40–45.
Annahme Die Regel der Annahme erlaubt es, eine beliebige Aussage als Prämisse aufzuschreiben und von ihr ausgehend Folgerungen zu ziehen. Möchte man ein Argument herleiten, das mehr als eine Prämisse umfasst, dann schreibt man die Prämissen nebeneinander – Nebeneinanderschreiben bedeutet ja nichts anderes, als jeden der so kombinierten Sätze anzunehmen. R1 – Löschregel („Rule of Erasure“) Jede Aussage, die auf geradzahliger Ebene auftritt, darf ersatzlos gestrichen werden. Mit dieser Regel kann man zum Beispiel von (P(Q)) durch Löschung von Q auf (P()) schließen, weil Q auf Ebene 2 liegt und 2 eine gerade Zahl ist. Nicht gelöscht werden dürfte in diesem Beispiel P, weil P auf Ebene 1 liegt und 1 eine ungerade Zahl ist. R2 – Einfügungsregel („Rule of Insertion“)