mini|Kleinstes Tripel:
In der Zahlentheorie besteht ein Pythagoreisches Tripel oder Pythagoreisches Zahlentripel aus drei verschiedenen natürlichen Zahlen,In diesem Artikel gilt 0 ist also keine natürliche Zahl. bei denen die Summe der Quadrate der beiden kleineren Zahlen gleich dem Quadrat der größten Zahl ist. Nach dem Satz des Pythagoras können die drei Zahlen eines Pythagoreischen Tripels auch als die Seitenlängen eines ebenen rechtwinkligen Dreiecks in der Euklidischen Geometrie aufgefasst werden. Wenn , und außer 1 keinen Teiler gemeinsam haben, spricht man von einem primitiven pythagoreischen Tripel.
Geschichte mini|Die Tontafel Plimpton 322
Pythagoreische Tripel finden sich bereits auf babylonischen Tontafeln, die in die Zeit der Hammurabi-Dynastie datiert werden (1829 bis 1530 v. Chr.). Die Keilschrifttafel Plimpton 322 enthält 15 verschiedene pythagoreische Tripel, u. a. , und , was darauf schließen lässt, dass bereits vor mehr als 3500 Jahren ein Verfahren zur Berechnung solcher Tripel bekannt war. Für Ägypten ist die explizite Erwähnung von pythagoreischen Tripeln nur aus einem demotischen Papyrus des 3. Jahrhunderts v. Chr. bekannt,Corinna Rossi: Mathematics and Architecture in Ancient Egypt. Cambridge UP 2003, S. 217. Sie zitiert Richard Parker: Demotic Mathematical Papyri. Brown University Press 1972, S. 3–4, 35–40. doch wurde auch die Verwendung insbesondere der Tripel und für Böschungswinkel bei einigen Pyramiden aus einer Zeit rund zweitausend Jahre vor dem erwähnten Papyrus diskutiert.Rossi, loc. cit., S. 219. Die Chephren-Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 53° käme demnach für die Verwendung von in Betracht, die Rote Pyramide mit einem Böschungswinkel von rund 43° für .
Das indische Baudhayana-Sulbasutra aus dem 6. Jahrhundert vor Christus enthält fünf pythagoreische Tripel.
Pythagoreische Tripel wurden bei den Griechen von Euklid, nach dem Kommentar von Proklos zu Euklids Elementen von Pythagoras und Platon behandelt und später von Diophant.
Beispiele ist das kleinste und bekannteste pythagoreische Tripel. Es ist primitiv, denn die drei natürlichen Zahlen haben nur 1 als Teiler gemeinsam. und sind Beispiele für weitere kleine primitive pythagoreische Tripel. Beispiele für nicht primitive pythagoreische Tripel sind mit als einem gemeinsamen Teiler oder mit dem gemeinsamen Teiler .
Familien pythagoreischer Tripel Familie Eigenschaft BeispielePythagorasPlatonFermat Die Mitglieder dieser Familien können durch die Anwendung der Euklidischen Formel auf den Zähler und den Nenner in Folgen von Brüchen identifiziert werden, insbesondere in Folgen von Brüchen, die aus den periodischen Kettenbrüchen quadratischer Irrationalitäten stammen.
Erzeugung der pythagoreischen Tripel mini|250px|Pythagoreische Tripel im kartesischen Koordinatensystem mit x und y von 1 bis 2500. Die deutlich dunklen Linien markieren Tripel der Form Weitere Regelmäßigkeiten werden in der Vergrößerung sichtbar. Die Symmetrie zur 45°-Achse ist eine Folge des Kommutativgesetzes.
Die drei Formeln
liefern für beliebige ein pythagoreisches Tripel . Es ist genau dann primitiv, wenn und teilerfremd und nicht beide ungerade sind.
Diese Formeln wurden von Euklid angegeben (Elemente, Buch 10, Proposition 29, Lemma 1).David Joyce: Euclids Elements. Sie werden manchmal indische Formeln genannt, da sie explizit auch vom indischen Mathematiker Brahmagupta (598–668) knapp 900 Jahre später angegeben wurden.Dickson: History of the Theory of Numbers. Band 2, Carnegie Institution 1920, S. 166. Möglicherweise waren sie auch den Babyloniern bekannt bei ihrer Erstellung pythagoreischer Tripel,André Weil: Number theory. An approach through history from Hammurapi to Legendre. Birkhäuser 1984, S. 8. Als Alternative gibt er die Formel an, wobei die Babylonier entsprechend ihrem Zahlensystem auf Basis 60 für nur Produkte von 2, 3, 5 genommen hätten und und sich durch systematisches Ausprobieren ergäben. denn die Formeln ergeben sich unmittelbar aus der babylonischen Multiplikationsformel
wenn man und setzt und mit multipliziert: .
Umgekehrt lässt sich jedes primitive pythagoreische Tripel mit Hilfe dieser Formeln aus teilerfremden erzeugen.
Jedes nicht-primitive pythagoreische Tripel kann aus einem primitiven pythagoreischen Tripel durch berechnet werden. Die natürliche Zahl ist der größte gemeinsame Teiler von und damit eindeutig bestimmt.
Beispiele: liefert das Tripel . Multiplikation mit liefert . Es ergibt sich auch nach der babylonischen Multiplikationsformel aus Weil und beide ungerade sind, ist es nicht primitiv. liefert das primitive Tripel . Multiplikation mit liefert ; dies ist ein pythagoreisches Tripel, das sich nicht mit den Formeln nach Euklid erzeugen lässt. Diese erzeugen zwar alle primitiven, aber nur einen Teil der nicht-primitiven Tripel.
Die Verbindung der von B. Berggren (1934)B. Berggren: Pytagoreiska trianglar. Tidskrift för Elementär Matematik, Fysik och Kemi (in Swedish) 17 (1934), S. 129–139. und von A. Hall (1970)A. Hall: Genealogy of Pythagorean triads. Math. Gazette 54 (1970), S. 377–379. bekannten Baumstruktur der primitiven pythagoreischen Tripel mit der modularen Gruppe untersuchte R. C. Alperin (2005). Sämtliche primitiven pythagoreischen Tripel lassen sich über sieben verschiedene Lineartransformationen, jeweils ausgehend von , in (bis auf die Anordnung) genau drei verschiedenen ternären Wurzelbäumen erzeugen, wie Firstov allgemein bewies. Genau ein Wurzelbaum hat mit einem anderen jeweils eine Lineartransformation gemeinsam, eine davon erzeugt bspw. alle (primitiven) pythagoreischen Tripel , auch alle mit einer beliebigen ungeraden Primzahl , und der von Price entdeckte andere Wurzelbaum die beiden (gemischten) Darstellungen und der primitiven Tripel mit ungeradem , einem dazu teilerfremden und .
Herleitung der Formel zur Bildung der pythagoreischen Tripel Ist ein pythagoreisches Tripel, so ergibt die Division der zugehörigen Gleichung durch
Die Zahlen und sind rational und positiv und erfüllen die Koordinatengleichung des Einheitskreises
.
Also ist ein Punkt mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis. Die Gerade durch die Punkte und schneidet die -Achse in einem Punkt , wobei die Steigung dieser Geraden ist, für die gilt:
Daher ist eine rationale Zahl.
Eliminiert man aus dieser Gleichung und der des Einheitskreises, erhält man mit
eine Bestimmungsgleichung für .
Wegen gilt , sodass man beide Seiten durch dividieren darf:
Damit haben wir also
oder, weil man mit teilerfremden natürlichen Zahlen setzen kann:
Dies ergibt das pythagoreische Tripel
Es kann vorkommen, dass , und einen gemeinsamen Teiler haben. Aus würde beispielsweise folgen.
Als einzige Möglichkeit hierfür kommt jedoch in Betracht. Denn angenommen, eine ungerade Primzahl teilte sowohl als auch , so wäre und woraus man, weil prim und teilerfremd zu ist, so weiter schließen kann:
Die ungerade Primzahl teilt also und wegen auch . Das steht jedoch in Widerspruch zur Teilerfremdheit von und , sodass nicht ungerade sein kann. Also bleibt nur , was mit offenbar auch tatsächlich möglich und immer der Fall ist.
Man kann solche , die teilerfremd und beide ungerade sind, jedoch aussortieren, ohne primitive pythagoreische Tripel zu verlieren. Denn, wenn und das Tripel ergeben, so ergeben und das Tripel . Dabei sind teilerfremd und nicht beide ungerade.
Erzeugung primitiver pythagoreischer Tripel mit der babylonischen Multiplikationsformel Die babylonische Multiplikationsformel
liefern für teilerfremde ungerade mit ein primitives pythagoreisches Tripel.
Herleitung aus Hilbert 90 Dass diese Parametrisierung pythagoreischer Tripel mit Hilberts Satz 90 für den Fall geradeswegs äquivalent ist, hat Noam D. Elkies erkannt, vor ihm womöglich schon Olga Taussky und Takashi Ono.Noam D. Elkies: Pythagorean triples and Hilbert’s Theorem 90, siehe Abschnitt Literatur. Beachte allerdings, dass Noam Elkies auf seiner Homepage (unter „One-page Papers“) einen Dank an Franz Lemmermeyer richtet, der seinerseits auf Arbeiten von Olga Taussky und Takashi Ono hingewiesen hat: “Thanks to F. Lemmermeyer for recognizing the Pythagorean case of this proof from the beginning of Olga Taussky’s ‘Sums of Squares’, American Mathematical Monthly, Vol. 77 (1970), 805–830. Lemmermeyer notes that Ono gives the same proof in his book ‘Variations on a Theme of Euler: Quadratic Forms, Elliptic Curves and Hopf Maps’ [Plenum Press 1994]. There’s no reference to O. Taussky there either, so presumably Ono also discovered this independently.”
Denn das Bestehen der Gleichung (Nrm1) ist äquivalent damit, dass . Hilberts Satz 90 liefert ein Element mit , welches sogar ohne Einschränkung aus dem Ganzheitsring der Gaußschen Zahlen gewählt werden kann, so dass mit insgesamt gilt, woraus die Behauptung folgt, denn diese trifft eine Aussage über die homogenen Koordinaten und ihre homogene Parametrisierung durch die in den Variablen homogenen Polynomfunktionen vom Grad . Dass sich alle primitiven pythagoreischen Tripel durch darstellen lassen, folgt mit derselben elementaren Überlegung wie oben (nämlich: ).
Weitere Formeln für pythagoreische Tripel Aus der Antike stammen nach Proklos die Formeln von Pythagoras und Plato.
Pythagoras gibt die Seitenlängen
für ungerades an. Plato gibt die Seitenlängen
für gerade an.
Setzt man mit , ergibt die Formel von Pythagoras . Die Formel für Plato ergibt für mit .
Viele weitere Formeln findet man unter Formeln zur Erzeugung pythagoreischer Tripel.
Primitive pythagoreische Tripel Primitive pythagoreischen Tripel sind solche, für die und keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben (diese drei Zahlen sind dann auch paarweise teilerfremd).
Von den Zahlen und ist jeweils eine ungerade und die andere durch 4 teilbar, die größere Zahl ist jeweils ungerade. Für jeden Primfaktor von gilt: .OEIS:A058529. Für jeden Primfaktor des Quadrats der Kathetenhalbierenden gilt: . Das Produkt aller drei Zahlen ist immer durch 60 teilbar (gilt natürlich auch für nicht primitive Tripel).
Beispiele primitiver pythagoreischer Tripel Nach den Euklidischen Regeln erhält man als primitive pythagoreische Tripel zum Beispiel (aufsteigend geordnet nach und bei Gleichheit dann nach der kleineren Zahl ):
m n a b c m n a b c 2 1 3 4 5 7 2 45 28 53 4 1 15 8 17 5 4 9 40 41 3 2 5 12 13 10 1 99 20 101 6 1 35 12 37 9 2 77 36 85 5 2 21 20 29 8 3 55 48 73 4 3 7 24 25 7 4 33 56 65 8 1 63 16 65 6 5 11 60 61
Die primitiven pythagoreischen Tripel mit (aufsteigend geordnet nach der größten der drei Zahlen und bei Gleichheit dann nach der kleinsten) sind:
{| cellspacing="0" cellpadding="0" |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (3, 4, 5) |style="padding:0 1em"| (5, 12, 13) |style="padding:0 1em"| (8, 15, 17) |style="padding:0 1em"| (7, 24, 25) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (20, 21, 29) |style="padding:0 1em"| (12, 35, 37) |style="padding:0 1em"| (9, 40, 41) |style="padding:0 1em"| (28, 45, 53) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (11, 60, 61) |style="padding:0 1em"| (16, 63, 65) |style="padding:0 1em"| (33, 56, 65) |style="padding:0 1em"| (48, 55, 73) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (13, 84, 85) |style="padding:0 1em"| (36, 77, 85) |style="padding:0 1em"| (39, 80, 89) |style="padding:0 1em"| (65, 72, 97) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (20, 99, 101) |style="padding:0 1em"| (60, 91, 109) |style="padding:0 1em"| (15, 112, 113) |style="padding:0 1em"| (44, 117, 125) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (88, 105, 137) |style="padding:0 1em"| (17, 144, 145) |style="padding:0 1em"| (24, 143, 145) |style="padding:0 1em"| (51, 140, 149) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (85, 132, 157) |style="padding:0 1em"| (119, 120, 169) |style="padding:0 1em"| (52, 165, 173) |style="padding:0 1em"| (19, 180, 181) |- style="text-align:right;" |style="padding:0 1em"| (57, 176, 185)