mini|Mit Urnenmodellen wird die Wahr­scheinlichkeit für das Auftreten bestimmter Farbkombinationen untersucht, wenn aus einer Urne mit verschieden­farbigen Kugeln zufällig ausgewählte Kugeln gezogen werden.

Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment, das in der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Kombinatorik verwendet wird, um verschiedene Zufallsexperimente auf einheitliche und anschauliche Weise zu modellieren. Dazu wird ein fiktives Gefäß, Urne genannt, mit einer bestimmten Anzahl an Kugeln gefüllt, die anschließend zufällig gezogen werden. Damit ist gemeint, dass bei jedem Zug alle in der Urne befindlichen Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden. Dadurch kann die Bestimmung interessierender Wahrscheinlichkeiten auf die Lösung kombinatorischer Abzählprobleme zurückgeführt werden.

Im einfachsten Urnenmodell unterscheidet man Ziehungen mit Zurücklegen, bei denen jede Kugel nach ihrer Registrierung wieder in die Urne zurückgelegt wird, von Ziehungen ohne Zurücklegen, bei denen eine einmal gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird. Bei der Registrierung der gezogenen Kugeln unterscheidet man, ob die Reihenfolge der gezogenen Kugeln entweder beachtet oder nicht beachtet, d. h. außer Acht gelassen wird.

Viele wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie beispielsweise die diskrete Gleichverteilung, die Binomialverteilung, die Bernoulli-Verteilung, die hypergeometrische Verteilung, die negative Binomialverteilung, die geometrische Verteilung, die negative hypergeometrische Verteilung, die Multinomialverteilung oder die multivariate hypergeometrische Verteilung, können mit Hilfe von Urnenmodellen hergeleitet und veranschaulicht werden.

Geschichte mini|Titelblatt der Ars Conjectandi von Jakob I Bernoulli aus dem Jahr 1713

Auch wenn sich das Konzept des Urnenmodells bis in das Alte Testament und das antike Griechenland zurückverfolgen lässt, geht seine erste explizite Erwähnung in einem mathematischen Kontext auf den Schweizer Mathematiker Jakob I Bernoulli zurück. Zu Beginn des dritten Teils seines berühmten Werks Ars Conjectandi aus dem Jahr 1713 beschreibt Bernoulli folgendes Problem:

Hierbei ist mit „Hoffnung“ die Gewinnerwartung eines Spielers gemeint. Bernoulli verwendete in seinem in lateinischer Sprache geschriebenen Werk die Begriffe urna für eine Wahlurne und calculi für Zählsteine. Solche mit Loskugeln gefüllte Wahlurnen kamen unter anderem in der Republik Venedig bei der Wahl des Dogen zum Einsatz. Die grundlegende Idee hinter einem solchen Urnenmodell war für Bernoulli das Konzept der gleichen Wahrscheinlichkeit, mit der ein beliebiger Stein aus der Urne gezogen wird. Darauf basierend lassen sich nun die Gewinnerwartungen der drei Spieler ermitteln: Spieler A gewinnt in 50 % der Fälle, Spieler B in 25 % der Fälle, Spieler C in 12,5 % der Fälle und keiner der drei Spieler ebenfalls in 12,5 % der Fälle.

Ähnliche Urnenprobleme wurden im 18. Jahrhundert auch von Daniel Bernoulli und Pierre Rémond de Montmort betrachtet. Abraham de Moivre und Thomas Bayes setzten sich in dieser Zeit im Kontext der Inferenzstatistik speziell mit der Frage auseinander, ob sich aus der Beobachtung der gezogenen Kugeln auf die Anteile der Kugeln in der Urne schließen lässt. Knapp einhundert Jahre nach Bernoulli griff Pierre-Simon Laplace die Idee in seiner Théorie Analytique des Probabilités wieder auf und stellte dabei die Wahrscheinlichkeitstheorie auf eine solide mathematische Grundlage.

Heute sind Urnenmodelle ein zentraler Bestandteil der Grundausbildung in der Stochastik, insbesondere der Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistik und Kombinatorik.

Beschreibung des Urnenmodells mini|Die Berechnung von Gewinn­wahr­schein­lichkeiten bei der Ziehung der Lottozahlen ist eine klassische Anwendung von Urnenmodellen

In einer Urne befinden sich mehrere Kugeln, die verschiedene Ausprägungen von Eigenschaften aufweisen können, z. B. unterschiedlich gefärbt oder unterschiedlich beschriftet sind, ansonsten aber gleich sind. Aus dieser Urne wird nun eine Kugel herausgenommen und registriert. Hierbei wird angenommen, dass bei einer solchen Ziehung eine Kugel zufällig ausgewählt wird, d. h., es soll nicht vorhersehbar sein, welche der Kugeln gezogen wird. Weiter wird angenommen, dass jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, da die Kugeln gut durchmischt in der Urne liegen. Dieser Vorgang des Ziehens kann nun mehrmals wiederholt werden. Es lassen sich im einfachsten Urnenmodell 4 Fälle unterscheiden: Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge (Variation mit Wiederholung) Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge (Variation ohne Wiederholung) Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombination mit Wiederholung) Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge (Kombination ohne Wiederholung)

Bemerkung: Ziehen mit Zurücklegen: Jede Kugel wird nach ihrer Registrierung wieder in die Urne zurückgelegt; die Zahl der Kugeln in der Urne verändert sich damit bei mehreren Ziehungen nicht. Daher sind die Ziehungen unabhängig voneinander. Ziehen ohne Zurücklegen: Eine einmal gezogene Kugel wird nicht wieder zurückgelegt; die Zahl der Kugeln in der Urne verringert sich damit nach jeder Ziehung um eins. Daher sind die Ziehungen nicht voneinander unabhängig. Ziehen unter Beachtung der Reihenfolge: Die Kugel wird nach der Ziehung nicht nur einfach registriert, sondern es wird auch registriert, bei der wievielten Ziehung die Kugel gezogen wurde. Eine Anordnung der gezogenen Kugeln ist dadurch möglich. Ziehen ohne Beachtung der Reihenfolge: Die Kugeln werden nach der Ziehung registriert. Es wird nicht registriert, welche Kugel bei welcher Ziehung gezogen wurde. Eine Anordnung der gezogenen Kugeln ist nicht möglich. Es wird nur die Auswahl der gezogenen Kugeln registriert.

Im Folgenden wird der besonders anschauliche Fall einer Urne, die mit verschiedenfarbigen Kugeln gefüllt ist, betrachtet.

Ergebnismengen Einmaliges Ziehen mini|Gleichfarbige Kugeln sind äußerlich nicht unterscheidbar und werden daher verschieden beschriftet. mini|Glücksradmodell als Alternative

In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden Ergebnisse, etwa dass eine bestimmte Kugel gezogen wird, durch Mengen dargestellt. Im Urnenmodell geht man zunächst von unterschiedlichen Kugeln aus. Falls einige Kugeln in der Urne die gleiche Ausprägung der Eigenschaften haben, z. B. die gleiche Farbe haben, erweist es sich als vorteilhaft, die Kugeln durch eine Nummerierung voneinander zu unterscheiden. Befinden sich in der Urne insgesamt Kugeln, dann definiert man als Ergebnismenge für das Ziehen einer Kugel

,

wobei die Elemente der Ergebnismenge die einzelnen Kugeln identifizieren. Befinden sich beispielsweise drei rote, eine grüne und zwei blaue Kugeln in der Urne, so lässt sich die Ergebnismenge durch

beschreiben. Die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge wird durch die Mächtigkeit der Ergebnismenge beschrieben. Die Mächtigkeit der Ergebnismenge ist identisch mit der Anzahl der Möglichkeiten, Kugeln aus einer Urne mit Kugeln zu ziehen.

Jedem Ergebnis , , wird nun eine Wahrscheinlichkeit zugeordnet. Nachdem jede Kugel mit der gleichen Wahrscheinlichkeit gezogen wird, handelt es sich hierbei um ein Laplace-Experiment, bei dem für die Wahrscheinlichkeit jedes Elements der Ergebnismenge

gilt. In obigem Beispiel mit sechs Kugeln erhält man also für jede Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit

.

Hinweis: Das einmalige Ziehen aus einer Urne kann auch mit dem einmaligen Drehen eines Glückrads simuliert werden, wie der Vergleich der beiden Abbildungen zeigt.

Ziehen mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge mini|Bei einem Urnenmodell mit Zurücklegen wird eine Kugel nach der Notierung ihrer Farbe wieder zurück in die Urne gelegt.

Beim Ziehen mehrerer Kugeln unter Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Tupel dargestellt, wobei die Länge des Tupels der Anzahl der Ziehungen entspricht. Werden von den Kugeln in der Urne Kugeln mit Zurücklegen gezogen, dann hat die Ergebnismenge die Form

.

Die Ergebnismenge ist damit das -fache kartesische Produkt der Ergebnismenge einer einfachen Ziehung. Man spricht hier auch von einer Variation mit Wiederholung. Nachdem es für jedes der Tupelelemente Möglichkeiten gibt, erhält man für die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge

.

Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln mit Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit

.

Diese Wahrscheinlichkeit ist gerade das dreifache Produkt der Wahrscheinlichkeiten beim einmaligen Ziehen.

Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge mini|Bei einem Urnenmodell ohne Zurücklegen wird eine einmal gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt.

Auch beim Ziehen ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Tupel dargestellt, wobei die Länge des Tupels der Anzahl der Ziehungen entspricht. Werden von den Kugeln in der Urne Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, dann hat die Ergebnismenge die Form

.

Die Ergebnismenge besteht damit aus allen -Tupeln, bei denen kein Element des Tupels mehr als einmal vorkommt. Man spricht hier auch von einer Variation ohne Wiederholung. Nachdem es für das erste Tupelelement Möglichkeiten gibt, für das zweite Möglichkeiten und so weiter, erhält man für die Anzahl der Elemente der Ergebnismenge

.

Der Ausdruck wird fallende Faktorielle ab mit Faktoren genannt. Werden aus der Beispielurne mit sechs Kugeln drei Kugeln ohne Zurücklegen unter Beachtung der Reihenfolge gezogen, dann hat jede zulässige Kugelkombination die Wahrscheinlichkeit

.

Diese Wahrscheinlichkeit ist gerade das Produkt der Wahrscheinlichkeiten beim jeweils einmaligen Ziehen aus einer Urne mit sechs, fünf und vier Kugeln.

Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge Eine adäquate mathematische Beschreibung dieses Falls ist durch eine Multimenge gegeben, die zum einen als Menge – im Gegensatz zu einem Tupel – Elemente in nicht angeordneter Weise zu beschreiben erlaubt, was für das Außer-Acht-Lassen der Reihenfolge der gezogenen Kugeln benötigt wird, und zum anderen ein mehrfaches Auftreten eines Elements innerhalb einer Menge erlaubt (Vielfachheit bzw. Multiplizität eines Elements), was für die Möglichkeit eines mehrfachen Ziehens einer Kugel notwendig ist, da eine gezogene Kugel wieder in die Urne zurückgelegt wird und erneut gezogen werden kann. Als Schreibweise für eine Multimenge wird hier gewählt und die Vielfachheit eines Elements steht in runden Klammern als hochgestellte Zahl am Element. Da eine Kugel maximal mal gezogen werden kann, ergibt sich die (Multi-)Menge zu

.

Beim Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge werden die Ergebnisse durch Teil(multi)mengen dargestellt:

.

Für die Vielfachheit einer Kugel gilt , für , da die Anzahl möglicher Ziehungen einer Kugel zwischen und liegt. Befinden sich in einer Urne Kugeln und werden Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge gezogen, ergibt sich als Ergebnismenge

.

Man spricht hier auch von einer Kombination mit Wiederholung. Die Anzahl der Möglichkeiten, Ziehungen unter Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge durchzuführen, ergibt sich aus der Anzahl der Möglichkeiten, die Gleichung zu erfüllen, wobei mit gilt. Damit ergibt sich die Anzahl der Möglichkeiten, Ziehungen unter Kugeln mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge durchzuführen aus

.