Der Quanten-Hall-Effekt (kurz: QHE) äußert sich dadurch, dass bei tiefen Temperaturen und starken Magnetfeldern die senkrecht zu einem Strom auftretende Spannung nicht wie beim klassischen Hall-Effekt linear mit dem Magnetfeld anwächst, sondern in Stufen. Der Effekt tritt an Grenzflächen auf, bei denen die Elektronen als zweidimensionales Elektronengas beschrieben werden können.

Der sog. Hall-Widerstand , also das Verhältnis der Hall-Spannung zur Stromstärke, nimmt dabei als Plateauwerte Bruchteile der Größe der Von-Klitzing-Konstante

an, wobei die Planck-Konstante und die Elementarladung ist. Beide sind Naturkonstanten; die Plateauwerte hängen also weder von den Materialeigenschaften wie der Ladungsträgerdichte, noch von der Probengröße, noch von der Magnetfeldstärke ab. Beim integralen Quanten-Hall-Effekt kommen nur ganzzahlige Nenner von vor, beim fraktionalen Quanten-Hall-Effekt (auch fraktionierter QHE) nehmen die Nenner die Form von Brüchen an (siehe unten).

Für die Entdeckung des quantisierten Hall-Effekts erhielt Klaus von Klitzing im Jahr 1985 den Nobelpreis für Physik. Die Von-Klitzing-Konstante wurde als Normal des elektrischen Widerstandes verwendet. Seit der Reform des SI von 2019, bei der den Konstanten h und e ein exakter Wert zugewiesen wurde, hat auch die Von-Klitzing Konstante einen exakten Wert.

Beschreibung des Phänomens mini|360px|Hall-Widerstand ρxy und elektrischer Widerstand ρxx bei tiefen Temperaturen, abhängig von der magnetischen Fluss­dichte B. Für das höchste gezeigte Plateau von ρxy gilt ν = 3. Beim klassischen Hall-Effekt fließt elektrischer Strom durch eine Platte, die senkrecht zu ihrer Oberfläche von einem Magnetfeld durchsetzt wird. Die im Magnetfeld fließenden Ladungsträger werden durch die Lorentzkraft seitlich abgelenkt, so dass an den Kanten der Platte quer zur Stromrichtung eine elektrische Spannung gemessen werden kann, die als Hall-Spannung bezeichnet wird.

Das Verhältnis der seitlich anliegenden Hall-Spannung zum Strom wird als Hall-Widerstand bezeichnet und beträgt in zweidimensionalen Hall-Streifen beim klassischen Hall-Effekt , Es wird das SI-Einheitensystem benutzt; im Gauß’schen System wäre dagegen durch zu ersetzen. wobei die quer zum Gesamtstrom auftretende Hallspannung, der Gesamtstrom (senkrecht zur Richtung, in der die Hallspannung gemessen wird), die Magnetfeldstärke, die Ladungsträgerdichte Natürlich ist im Zusammenhang mit dem (zweidimensionalen) QHE die Ladungsträgerdichte keine Volumendichte, sondern eine Flächendichte, Gesamtladung / (Länge mal Breite des Hall-Streifens).Zu den experimentellen Gegebenheiten: Man stelle sich eine Fläche der Länge und der Breite vor. Die „Dicke“ des Streifens betrage nur eine Atomlage (Monolage) oder einen ähnlich kleinen Betrag, während und viel größer sind und daher eine Flächenbetrachtung ermöglicht wird. Durch diese Versuchsanordnung wird sichergestellt, dass es sich um ein zweidimensionales Elektronengas handelt. Das elektrische Feld und der Strom sind in Längsrichtung (-Richtung), die Hall-Spannung wirkt in Quer-Richtung (-Richtung), quer über die Breite der Probe, und die Richtung des Magnetfeld sei die -Richtung, also die senkrechte Richtung auf der Fläche gebildet aus und . und die Elementarladung ist. Der klassische Hall-Widerstand ist also proportional zum anliegenden Magnetfeld. Man sieht dies im Bild für kleine -Feldwerte.

Bei hinreichend tiefer Temperatur und starkem Magnetfeld nimmt der Hall-Widerstand jedoch unabhängig vom Material einen der Plateau-Werte (im nebenstehenden Bild wird mit gekennzeichnet) an, wobei hierEs gibt auch eine andere Konvention für ganze Zahlen sind, die Planck-Konstante und die Von-Klitzing-Konstante („von Klitzing’scher Elementarwiderstand“) ist.

Eine kontinuierliche Zunahme der Stärke des Magnetfeldes lässt jetzt den Hall-Widerstand zunächst konstant, bis dieser auf den nächsten Stufenwert wechselt. Die Mitte der Stufen entspricht der oberen Formel, also dem klassischen Hall-Effekt. Genau in der Stufenmitte verschwindet die in Stromrichtung an der Probe anliegende Spannung , das heißt, der elektrische Widerstand ist dort Null und die Leitung wird dissipationsfrei, anscheinend im ganzen Plateaubereich zwischen den Stufen. An den Stufen selbst ergeben sich scharfe Maxima im Widerstand.

Bei den Plateauzuständen des Quanten-Hall-Effekts handelt es sich also, ähnlich wie bei der Supraleitung, um einen makroskopischen Quantenzustand.

Versuchsbedingungen Versuche zur Beobachtung des Quanten-Hall-Effektes werden üblicherweise in einem einfachen Helium-Kryostaten bei 4,2 Kelvin durchgeführt. Tiefere Temperaturen, die nur durch deutlich aufwändigere Kühltechnik möglich werden, sind meistens nicht nötig, außer für die Beobachtung des gebrochenzahligen Effektes. Eine Stickstoffkühlung reicht allerdings nicht aus, da die Kühltemperatur bei ca. 70 Kelvin liegt und aufgrund dessen die mittlere freie Weglänge der Elektronen noch zu gering ist, die Messung also durch Wechselwirkungen zu stark gestört wird.

Je nach Probe werden Magnetfelder von einigen Tesla verwendet und konnten bei von Klitzings Apparatur bis zu 40 Tesla betragen, was einem Vielfachen der mittleren Erdmagnetfeldstärke in Deutschland von etwa 50 Mikrotesla entspricht. Für sehr starke Magnetfelder wird meist ein Helmholtz-Spulen-Paar aus supraleitendem Material verwendet, in dem typischerweise Spulenstromstärken zwischen 10 A und 100 A fließen. Der Strom durch die Probe selbst liegt dagegen nur bei 0,1 bis 10 μA.

Die bei QHE-Versuchen verwendeten Proben sind MOSFETs (metal oxide semiconductor field effect transistors), bei denen die Ladungsträgerdichte durch eine am Transistorgatter angelegte Spannung verändert werden kann, oder aber Halbleiter-Isolator-Heterostrukturen (z. B. AlxGa1-xAs/GaAs-Heterostrukturen), also dünne Plättchen, die einen Übergang zwischen einem Isolator und einem Halbleiter besitzen. An einer solchen Grenzschicht verlieren die Elektronen eine Bewegungsrichtung: Die -Richtung, in der das Magnetfeld angelegt wird, ist im Grenzpotential durch eine Quantenzahl fixiert, die Besetzungswahrscheinlichkeit des nächsthöheren Energieniveaus ist verschwindend gering. Man spricht daher von einem zweidimensionalen Elektronengas. An diesem Teil der wissenschaftlichen Arbeit wirkten Gerhard Dorda und Michael Pepper mit.von Klitzing K., Dorda G. und Pepper M., New Method for High-Accuracy Determination of the Fine-Structure Constant Based on Quantized Hall Resistance, Phys. Rev. Lett., Band 45, 1980, S. 494–497

In dem im Jahr 2004 erstmals hergestellten Material Graphen wurde der Quanten-Hall-Effekt bei Raumtemperatur beobachtet, siehe auch unten im Abschnitt Ungewöhnlicher Quanten-Hall-Effekt in Graphen-Monolagen.

Theorie Leitfähigkeitstensor Aufgrund eines Magnetfelds oder von bevorzugten Leitungsrichtungen in einem Festkörper ist das Ohmsche Gesetz allgemein mithilfe eines Leitfähigkeitstensors zu schreiben:

In zwei Dimensionen lässt sich der Leitfähigkeit- und der Widerstandstensor als 2x2-Matrizen darstellen:

.

Wählt man für die Beschreibung des QHE als die Stromrichtung, als die seitliche Richtung, in die die Hall-Spannung anliegt, und als die Magnetfeldrichtung, so gilt aufgrund der Anordnung .

Orthogonales E- und B-Feld Die klassische Bewegung von freien Elektronen, die sich in zueinander senkrecht (orthogonal) stehenden elektrischen und magnetischen Feldern befinden, ist eine auf Spiralbahnen entlang des -Feldes und kann als Überlagerung der folgenden Komponenten aufgefasst werden:K. Kopitzki: Einführung in die Festkörperphysik, B.G. Teubner, ISBN 3-519-13083-1. eine Kreisbewegung mit der Zyklotronfrequenz um die -Feldrichtung, einer Driftbewegung mit senkrecht zu - und -Feld, einer unbeschleunigten Bewegung in -Feldrichtung.

Die Zyklotronfrequenz spielt auch beim QHE eine wichtige Rolle, wie wir gleich sehen werden.

Quantenmechanische Betrachtung Mit , der Coulomb-Eichung und dem Separationsansatz kann die Schrödingergleichung für das freie Elektron, also

,

in eine Differentialgleichung für die -abhängige Funktion umgeformt werden, die die Schrödingergleichung eines harmonischen Oszillators um den Ruhepunkt ist. Man erhält als Energieeigenwerte nur die Landau-Niveaus: , wobei .

Bei einer Probenabmessung von in Stromrichtung bzw. in Richtung der Hall-Spannung gilt dann: Die Kreiswellenzahl in -Richtung kann die Werte mit ganzzahligem annehmen, sie taucht aber auch in der Ruhelage des harmonischen Oszillators auf, für die gilt. Daraus ergibt sich für der Wertebereich

.

Jedes Landau-Niveau hat also in diesem Bauteil als Entartungsgrad pro Flächeneinheit eine Größe gL („Zustandsflächendichte“), für die folgende Beziehung gilt: Auf einen gegebenen Landau-Zustand entfällt also eine zugehörige Fläche , wobei die Größe auch als „Flussquant“ bezeichnet werden kann. (In der Theorie der Supraleitung wird durch ersetzt, weil die Ladungsträger dort Cooper-Paare sind.)

Am Probenrand und durch Unordnungspotenziale in der Probe treten weitere Effekte auf, die beim Verständnis des QHE eine entscheidende Rolle spielen und im Folgenden erläutert werden, denn allein mit den idealen Landau-Niveaus lässt sich der QHE nicht erklären.

Vereinfachte Erklärung des QHE mini|Liegt das Ferminiveau zwischen zwei Landau-Niveaus, so findet keine Streuung statt, und es treten Plateaus auf. Durch das Anlegen eines Magnetfeldes (senkrecht zum zweidimensionalen Elektronengas (2DEG)) werden die Elektronen dazu gebracht, sich auf Kreisbahnen – den Zyklotronbahnen – zu bewegen. Mit der Coulomb-Eichung lässt sich die Hamilton-Funktion des Systems schreiben als . Dies lässt sich umschreiben zu einer Hamilton-Funktion des harmonischen Oszillators in -Richtung mit der Zyklotronfrequenz . Dessen Zustände sind quantisiert und bilden die Landau-Niveaus.Wolfgang Nolting: Quantum Theory of Magnetism, Springer

Legt man nun senkrecht zum Magnetfeld ein zusätzliches longitudinales elektrisches Feld (etwa durch ein externes Potential) parallel zum 2DEG an, so erfahren die Elektronen eine zusätzliche Ablenkung. Im idealen Fall (ohne Streuung) werden sie dabei in die zum elektrischen Feld senkrechte Richtung abgelenkt und erzeugen die Hall-Spannung UH, d. h., sie beschreiben eine Spiralbahn senkrecht zum elektrischen und Magnetfeld (die Bewegung ist durch das 2DEG in diese zwei Dimensionen eingeschränkt). Da ohne Streuung die Streuzeit τ gegen unendlich geht, verschwinden sowohl die Leitfähigkeit (in Richtung des externen elektrischen Feldes/Potentials) als auch der zugehörige Widerstand, da sich die Elektronen senkrecht zum Potential bewegen. Bezieht man nun die Streuung mit ein, so ändert sich die Richtung eines Elektrons, das an einer Störstelle gestreut wurde. Dadurch erfahren die Ladungsträger eine Komponente in Richtung des elektrischen Feldes, die zu einem Strom führt.

Quantenmechanisch kann man die Oszillationen von Widerstand und Leitfähigkeit vereinfacht dadurch erklären, dass je nach Position der Fermienergie relativ zu den Landau-Niveaus Streuung stattfinden kann oder nicht. Die Landau-Niveaus sind durch die endlichen Umläufe der Elektronen nicht deltaförmig, sondern verbreitert (Halbwertsbreite ). Befindet sich die Fermienergie innerhalb eines Niveaus, so tritt Streuung auf, da freie Zustände existieren, in die gestreut werden kann. Liegt die Fermienergie jedoch zwischen zwei Landau-Niveaus, wird die Streuung mangels freier Zustände idealerweise vollständig unterdrückt und es findet nur über die Randkanäle widerstandfreier Transport statt (siehe unten).