rahmenlos|rechts|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Höhensatzes Die Quadratur des Rechtecks ist eine klassische Aufgabe der Geometrie. Mit Lineal und Zirkel soll aus einem gegebenen Rechteck ein Quadrat mit gleich großer Fläche gezeichnet werden. Im Gegensatz zur auf diese Weise nicht lösbaren Quadratur des Kreises ist die Quadratur des Rechtecks auf verschiedene Arten möglich.
Ausgangslage mini|hochkant=1.2|Rechtwinkliges Dreieck Ausgangspunkt für die folgenden beiden Konstruktionen sind zwei auf Euklid zurückgehende mathematische Gesetze des rechtwinkligen Dreiecks, der Höhensatz und der Kathetensatz.
In einem rechtwinkligen Dreieck seien a und b die den rechten Winkel einschließenden Katheten und c die Hypotenuse. h sei die Höhe auf die Seite c, und p bzw. q seien die beiden Hypotenusenabschnitte. Dann gelten folgende Beziehungen:
(Höhensatz von Euklid)
und (Kathetensatz von Euklid)
Methode mit dem Höhensatz mini|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Höhensatzes
Ganz egal, welche Proportionen das gegebene (hier grüne) Rechteck hat: Wir nehmen an, seine eine Seite wäre der Hypotenusenabschnitt p und seine andere Seite der Hypotenusenabschnitt q eines rechtwinkligen Dreiecks. Dann schwenken wir die (hier) kürzere Seite des Rechtecks um 90° und erhalten die Basis eines rechtwinkligen Dreiecks. Über dieser Basis zeichnen wir einen Thaleskreis. Die Verlängerung der kürzeren Rechteckseite schneidet den Thaleskreis und liefert die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten p und q. Wenn man nun über dieser Höhe ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.
Methode mit dem Kathetensatz mini|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Kathetensatzes
Bei der zweiten Methode nimmt man an, die längere Seite des (hier grünen) Rechtecks würde sich über die gesamte Basis c eines rechtwinkligen Dreiecks erstrecken. Dann dreht man die kürzere Seite des Rechtecks um 90° nach innen, sie liefert den Hypotenusenabschnitt q und den Fußpunkt der Höhe h. Dann zeichnet man über der Basis c einen Thaleskreis. Der Schnittpunkt der Höhe mit der Kreislinie ergibt den dritten Dreieckspunkt, wodurch sich die Kathete b ergibt. Wenn man nun über b ein (hier oranges) Quadrat errichtet, hat dieses exakt denselben Flächeninhalt wie das gegebene Rechteck.
Methode mit dem Sekanten-Tangenten-Satz mini|hochkant=1.2|Quadratur mit Hilfe des Sekanten-Tangenten-Satzes Auch der Sekanten-Tangenten-Satz lässt sich für die Quadratur des Rechtecks verwenden: In einem gegebenen (hier grünen) Rechteck mit Länge p und Breite q, sei eine Länge p auch als Strecke gekennzeichnet. Sei die Strecke gleich der Breite q und innerhalb . Sei M1 der Mittelpunkt der Strecke . Sei k1 der Kreis mit Durchmesser , und k2 der Kreis mit Durchmesser . Sei T ein Schnittpunkt dieser Kreise. Der Winkel M1TR ist nach dem Satz von Thales ein rechter, daher ist eine Tangente an k1. Nach dem Sekanten-Tangenten-Satz gilt nun ()2 = p·q.
Methode mit dem Sehnensatz sowie mit dem geometrischen Mittel mini|hochkant=1.5|Quadratur mit Hilfe des Sehnensatzes Das graue Rechteck b · c und die gestrichelten Linien sind für die Lösung nicht erforderlich, sie sollen lediglich die Lösung verdeutlichen, z. B. aus welchem Grund die Strecke eine Seite a des flächengleichen Quadrates ist. Zu den vier bekanntesten Lösungen zur Flächenumwandlung zählt auch die, die mit Hilfe des Sehnensatzes darstellbar ist. Für die Quadratur eines gegebenen (hier blauen) Rechtecks mit Länge p und Breite q, werden zuerst zwei Ecken einer langen Seite mit A bzw. B bezeichnet. Es folgt die Verlängerung der Strecke um die Breite q mit Hilfe des Viertelkreises, dabei ergibt sich die Strecke . Nach dem Einzeichnen der Mittelsenkrechten von wird auf der Mittelsenkrechten der frei wählbare Punkt M bestimmt. Nun zeichnet man einen Kreis um den Punkt M mit dem Radius |MA|; hiermit wird die Strecke zur ersten Sehne des Kreises. Es geht weiter, indem der Durchmesser des Kreises durch den Punkt B gezogen wird. Die damit entstandene Strecke ist die zweite Sehne des Kreises. Beide Sehnen kreuzen sich im Punkt B, der seinerseits die Sehne in p und q sowie die Sehne in b und c unterteilt. Schließlich wird eine Senkrechte auf die Strecke errichtet, die ab dem Punkt B bis auf die Kreislinie verläuft und den Schnittpunkt G erzeugt. Somit ergibt sich als Strecke die erste Seite a des gesuchten flächengleichen (hier grünen) Quadrates.
Wie beschrieben ist in der nebenstehenden Zeichnung die Sehne durch den Mittelpunkt des Kreises gezogen. Auf Grund dessen besteht bezüglich Verdeutlichung und Begründung des Ergebnisses die Möglichkeit (wie dargestellt), zusätzlich zur Rechteckfläche b · c für die Umwandlung in die Quadratfläche a2, auch das rechtwinklige Dreieck EFG mit der Höhe h = a und die Quadratfläche h2 einzuzeichnen. Alles zusammen gesehen, ist der Zusammenhang des Sehnensatzes mit dem Höhensatz deutlich erkennbar.
Gemäß dem Sehnensatz gilt:
bzw.
daraus folgt (wie im Höhensatz von Euklid)
zieht man daraus die Quadratwurzel, ist die Seitenlänge a des Quadrates gleich dem geometrischen Mittel der Länge p + q.Universität Magdeburg A.14 Mittelwerte. Mittlere Proportionale, Seite 2, Punkt u. Bild: b) (PDF) abgerufen am 7. Mai 2017
mini|links|hochkant=1.7|Quadratur des Rechtecks mit Hilfe des geometrischen Mittels
Siehe auch Quadratur des Kreises Quadratur der Parabel Quadratur des Quadrates Quadratur des Polygons
Literatur Schülerduden – Mathematik I. Bibliographisches Institut & F.A. Brockhaus, Mannheim 2008, ISBN 978-3-411-04208-1, S. 193, 212, 415–417 Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Perlen der Mathematik: 20 geometrische Figuren als Ausgangspunkte für mathematische Erkundungsreisen. Springer, 2015, ISBN 978-3-662-45461-9, S. 31–32
Weblinks
Euklid’s Elemente Zweytes Buch, Der 14. Satz. – Quadratur des Rechtecks in den Elementen des Euklid Vom Rechteck, das ein Quadrat werden wollte (PDF) Quadratur des Rechtecks auf mathematische-basteleien.de
Einzelnachweise
Kategorie:Vierecksgeometrie