Die Apéry-Konstante ist eine mathematische Konstante, die als Wert der Reihe
definiert ist. Das ist der Wert der riemannschen ζ-Funktion an der Stelle 3. Namensgeber Roger Apéry bewies, dass eine irrationale Zahl ist.
Grundlegendes Ihre Dezimaldarstellung bis zur 50. Nachkommastelle lautet ().
Derzeit (Stand August 2020) sind 1.200.000.000.100 dezimale Nachkommastellen bekannt, ihre Berechnung wurde von Seungmin Kim am 26. Juli 2020 vollendet.
Die Konstante wurde 1735 von Euler betrachtet.Leonhard Euler: Inventio summae cuiusque seriei ex dato termino generali. 13. Oktober 1735, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 8, 1741, S. 9–22 (lateinisch; „1,202056903159594“ auf S. 21). Sie ist nach Roger Apéry benannt, der 1979 bewies, dass sie irrational ist.Roger Apéry: Irrationalité de et . Astérisque 61, 1979, S. 11–13 (französisch). Ob sie auch transzendent ist, ist bisher nicht bekannt, auch nicht, ob sie normal istDavid H. Bailey, Richard E. Crandall: . (PDF; 399 kB), Experimental Mathematics 11, 2002, S. 527–546 (englisch). oder ob irrational istFinch: Apéry’s constant. 2003, S. 41 (englisch). (mit Kreiszahl ). Über die Werte der Zetafunktion bei weiteren ungeraden natürlichen Zahlen weiß man – im Gegensatz zu den Werten bei geraden Zahlen – wenig: Es müssen unendlich viele der Zahlen irrational sein,Tanguy Rivoal: La Fonction zêta de Riemann prend une infinité de valeurs irrationnelles aux entiers impairs. Comptes rendus de l’Académie des sciences Série I 331, 2000, S. 267–270 (französisch; ). dabei mindestens eine von und .W. W. Zudilin: One of the numbers ζ(5), ζ(7), ζ(9), ζ(11) is irrational. Russian Mathematical Surveys 56, 2001, S. 774–776 (englisch).
Für das Irrationalitätsmaß , wobei die Menge der positiven reellen Zahlen ist, für die höchstens endlich viele Paare positiver ganzer Zahlen und mit existieren, sind die Schranken bekannt,Georges Rhin, Carlo Viola: The group structure for ζ(3). Acta Arithmetica 97, 2001, S. 269–293 (englisch). insbesondere ist nicht liouvillesch.
Der Kehrwert () ist die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass drei ganze Zahlen teilerfremd sind, und ebenso die asymptotische Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl kubikfrei (nicht durch eine Kubikzahl größer 1 teilbar) ist. Dies sind Spezialfälle davon, dass ganze Zahlen mit asymptotischer Wahrscheinlichkeit keine -te Potenz größer 1 als gemeinsamen Teiler haben.M. Beeler, R. W. Gosper, R. Schroeppel: HAKMEM. MIT AI Memo 239, 29. Februar 1972 (englisch), ITEM 53 (Salamin).
Reihendarstellungen Apéry verwendete die Formel
Ein bereits Euler bekanntes Resultat ist
mit den harmonischen Zahlen . Zahlreiche verwandte Formeln wie
führen ebenfalls zur Apéry-Konstante.Walther Janous: Around Apéry’s constant. Journal of inequalities in pure and applied mathematics 7, 2006, Artikel 35 (englisch).
Unter Anwendung der dirichletschen λ-Funktion und der dirichletschen η-Funktion erhält man aus die Darstellung
Eine schnell konvergierende Reihe stammt von Tewodros Amdeberhan und Doron Zeilberger (1997):Tewodros Amdeberhan, Doron Zeilberger: . The Electronic Journal of Combinatorics 4(2), 1997 (englisch).
mit
Nach Matyáš Lerch (1900):Matyáš Lerch: Sur la fonction ζ(s) pour les valeurs impaires de l’argument. Jornal de sciencias mathematicas e astronomicas 14, 1900, S. 65–69 (französisch; Jahrbuch-Zusammenfassung).
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Simon Plouffe entwickelte diesen Ausdruck weiter:Simon Plouffe: Identities inspired by Ramanujan Notebooks (part 2). April 2006 (englisch).
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Bei Max Koecher findet man folgende Reihendarstellung, durch die man beim Abbrechen an der Stelle neun korrekte Dezimalstellen erhält:Max Koecher: Klassische elementare Analysis. Birkhäuser-Verlag, Basel / Boston 1987, S. 52.
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Weitere Darstellungen
Produktreihendarstellungen Eine Verbindung zu den Primzahlen ist
als Spezialfall des Euler-Produkts (Euler 1737).Leonhard Euler: Variae observationes circa series infinitas. 25. April 1737, Commentarii academiae scientiarum imperialis Petropolitanae 9, 1744, S. 160–188 (lateinisch; Euler-Produkt als „Theorema 8“ auf S. 174 f.).
Integraldarstellungen
Für die Apéry-Konstante gibt auch einige Integraldarstellungen.
Die Werte der folgenden Integrale gehen direkt aus den betroffenen trilogarithmischen Stammfunktionen hervor:
Diese drei Integrale kommen durch die sogenannten Abel-Plana-Summenformeln zustande:
Folgende weiteren Integrale weisen ebenso Stammfunktionen auf, welche nicht als elementare Kombination der Polylogarithmen dargestellt werden können: Abramowitz-Stegun: Riemann Zeta Function and Other Sums of Reciprocal Powers. S. 807, Formel 23.2.17.
Funktionalidentitäten Die Apéry-Konstante kann auch mit der Dirichletschen Lambdafunktion und Etafunktion dargestellt werden:
Sie taucht ebenfalls als ein Spezialfall der zweiten Polygammafunktion auf, es gilt nämlich:
Literatur Frits Beukers: A note on the irrationality of and . Bulletin of the London Mathematical Society 11, Oktober 1979, S. 268–272 (englisch). Steven R. Finch: Apéry’s constant. Kapitel 1.6 in Mathematical constants. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-81805-2, S. 40–53 (englisch).
Alfred van der Poorten: A proof that Euler missed … Apéry’s proof of the irrationality of ζ(3). An informal report. The Mathematical Intelligencer 1, Dezember 1979, S. 195–203 (englisch: Alf’s reprints. Paper 45, PDF; 205 kB).
Weblinks
(Kettenbruchentwicklung von ζ(3)) (Engel-Entwicklung von ζ(3))
Einzelnachweise
Kategorie:Folgen und Reihen Kategorie:Besondere Zahl