mini|200px|j-Funktion in der komplexen Ebene (ohne Faktor 12^3)
Die im 19. Jahrhundert durch den Mathematiker Felix Klein untersuchte j-Funktion oder absolute Invariante (j-Invariante, Klein-Invariante) spielt bis heute eine wichtige Rolle in der Theorie der elliptischen Funktionen und Modulformen. Es gilt, dass zwei Gitter genau dann ähnlich sind, wenn ihre j-Invarianten übereinstimmen. Sie ist eine grundlegende Modulfunktion in dem Sinne, dass sich alle weiteren Modulfunktionen aus ihr durch rationale Funktionen ergeben.
Definition Für (obere Halbebene) ist
,
dabei ist die Diskriminante; und , wobei die Eisensteinreihen zum Gitter sind.
kann als Kubikzahl ausgedrückt werden. Beachte, dass .
Eigenschaften mini|288px|Fundamentalbereich (grau) der j-Funktion Die j-Funktion ist holomorph auf (sie hat nur einen einfachen Pol in der Spitze, also für )Das folgt daraus, dass im Zähler Eisensteinreihen stehen, die in diesem Grenzfall holomorph sind, und im Nenner die Diskriminante, die eine Spitzenform ist und eine einfache Nullstelle in dem betrachteten Grenzfall hat, die Bezeichnung absolute Invariante erklärt sich aus dem Transformationsverhalten unter den Substitutionen der Modulgruppe , es gilt nämlich:
, d. h., ist eine Modulfunktion.
Die j-Funktion bildet surjektiv auf ab. Für Punkte gilt dann und nur dann, wenn es eine komplexe Zahl gibt, die das Gitter auf das Gitter überführt, also genau dann, wenn die Quotienten und als elliptische Kurven isomorph sind. Sie parametrisiert also eindeutig die Elliptischen Funktionen. Sie liefert eine Bijektion . Ihr Fundamentalbereich ist durch die Modulfigur gegeben (siehe Abbildung).
Ist ein Element aus einem quadratischen Zahlkörper mit positivem Imaginärteil, so ist eine ganzalgebraische Zahl.
Jede Modulfunktion ist eine rationale Funktion der j-Funktion.
Fourierentwicklung Die j-Funktion lässt sich in eine Fourierreihe entwickeln:
mit
Alle Fourierkoeffizienten : () sind natürliche Zahlen. Für ihr Wachstum gilt die asymptotische Formel
,
die 1932 von Petersson und unabhängig davon 1938 von Rademacher bewiesen wurde.
Die Fourierkoeffizienten sind Linearkombinationen der Dimensionen der irreduziblen Darstellungen der Monstergruppe mit kleinen ganzzahligen Koeffizienten. Dies folgt aus einer tiefen mathematischen Beziehung, die von McKay, Conway, Norton vermutet und von Richard Borcherds bewiesen wurde („monstrous moonshine“).
Literatur Eberhard Freitag & Rolf Busam: Funktionentheorie 1, 4. Aufl., Springer, Berlin (2006), ISBN 3-540-31764-3 Max Koecher & Aloys Krieg: Elliptische Funktionen und Modulformen, 2. Aufl., Springer, Berlin (2007) ISBN 978-3-540-49324-2
Weblinks
Ramanujan and the Modular j-Invariant (PDF; 14 S., 143 kB) A. Scherer, The j-function and the Monster, pdf
Einzelnachweise und Anmerkungen
Kategorie:Funktionentheorie Kategorie:Zahlentheorie