Die Dimensionsanalyse ist ein mathematisches Verfahren, um das Zusammenspiel physikalischer Größen bei Naturphänomenen zu erfassen, ohne die einem physikalischen Vorgang zugrundeliegende Formel oder eine exakte Gesetzmäßigkeit zu kennen. Ihre Anwendung beruht auf angewandter Mathematik und auf intuitivem physikalischen Verständnis. Sie hat sich insbesondere in der Strömungsmechanik bewährt.
Die Anwendung der Dimensionsanalyse auf geometrisch ähnliche, jedoch labortechnisch oder numerisch leichter handhabbare Modelle erlaubt hier häufig sehr genaue Rückschlüsse auf die Lösung des hochkomplexen Ausgangsproblems.
Die Dimensionsanalyse findet hauptsächlich in der experimentellen Physik, im Ingenieurwesen, aber auch in der Medizin und Biologie Anwendung.
Teilweise wird auch die Dimensionsbetrachtung zur Prüfung der Plausibilität einer physikalischen Formel als Dimensionsanalyse bezeichnet.
Anwendungsgebiete Die Problemstellungen und Anwendungsmöglichkeiten sind vielfältig. Einige Themenfelder sind:
Aerodynamik und das Verhalten von Körpern in strömenden Fluiden im Allgemeinen. Etwa die Untersuchung und Optimierung der aerodynamischen Eigenschaften von Flugzeugen und Hängebrücken. Strömungswiderstand und Druckabbau in durchströmten Rohren. Bildung von Wellen und deren Ausbreitung in diversen Medien. Diffusion und Wärmetransport. Explosionsvorgänge Materialfestigkeitsprüfungen und Crashtests. Geowissenschaftlich interessant sind Auswirkungen von Erdbeben (etwa für Hochhäuser), Durchsickerungsvorgänge im Erdreich, Tragfähigkeit von Gründungen für Bauwerke oder Hangrutschungen und Lawinen. Im Wasserbau der Abfluss in Gerinnen und der Geschiebetransport in Flüssen. In Medizin und Biologie das Themengebiet der Bionik, der Blutkreislauf oder das Pflanzenwachstum.
Eine Dimensionsanalyse dieser Vorgänge liefert nützliche Proportionalitäten, Vorgaben zur Kalibrierung von Modellversuchen (s. Modellgesetze) und konkrete Anhaltspunkte für Variantenstudien. Wiederholt reicht das aus, um daraus funktionale Zusammenhänge abzuleiten. In jedem Falle trägt sie zum besseren Verständnis des Problems bei.
Historie und Überblick mini|Ludwig Prandtl, einer der Väter der Strömungsmechanik, und sein „handbetriebener“ Strömungskanal (1904). Bereits Physiker wie Ludwig Prandtl, Theodore von Kármán, Albert Shields, Johann Nikuradse und John William Strutt, 3. Baron Rayleigh, die sich Ende des 19. und zu Beginn des 20. Jahrhunderts als erste tiefergehend mit den Eigenschaften von Strömungen und bewegten Körpern in Fluiden beschäftigten, nutzten die Dimensionsanalyse, um vom Laborexperiment mit kontrollierbaren Randbedingungen auf das Verhalten physikalischer Probleme mit geometrisch ähnlichen Körpern oder mit Fluiden anderer Zähigkeit und Dichte zu schließen. Dieses Ähnlichkeitsprinzip, also die Möglichkeit, physikalische Phänomene in unterschiedlichen Maßstäben untersuchen zu können, bildet die Grundlage der Ähnlichkeitstheorie. Häufig wird diese Theorie auch als Modelltheorie bezeichnet.
Die der Ähnlichkeitstheorie zugrundeliegende Dimensionsanalyse besagt, dass sich jede dimensionsgebundene physikalische Formel in eine dimensionslose, d. h. von physikalischen Einheiten bereinigte Gestalt überführen lässt. Dazu werden und durch ein Potenzprodukt der Variablen geteilt und gleichzeitig die einzelnen in beliebige Potenzen erhöht:
so dass die linke und die rechte Seite der Gleichung dimensionslos werden. Die Dimensionsreinheit und damit die Korrektheit jeder physikalischen Beziehung lässt sich anhand dieser Aussage prüfen. Genügt eine Formel nicht diesen Kriterien, dann ist sie physikalisch nicht exakt. Dies gilt für viele Näherungsformeln, die bewusst bestimmte Größen vernachlässigen. Auch ist klar, dass nur Größen gleicher Dimension addiert und subtrahiert werden können, also untereinander vergleichbar sind. Die Argumente etwa trigonometrischer oder anderer transzendenter Funktionen müssen folglich dimensionslose Zahlen sein.
Das wichtige, auf der Dimensionsanalyse aufbauende, und unabhängig voneinander von Aimé Vaschy (1890), Dmitri Pawlowitsch Rjabuschinski (1911) und Edgar Buckingham (1915) bewiesene Π-Theorem, erweitert obige Aussage dahingehend, dass sich die Funktion in der allgemeineren Form
darstellen lässt. Die Potenzprodukte der , die so genannten -Faktoren in mit , sind dimensionslos.
Durch die Dimensionsanalyse ist es möglich, die funktionale Gestalt physikalischer Formeln bis auf eine reellwertige Konstante zu „erraten“, sofern nur wenige physikalische Größen Einfluss nehmen, wie beispielsweise beim erstmals von Galilei formulierten Fallgesetz
mit als dem Fallweg, als der Fallbeschleunigung und als der Zeit. Die Proportionalitätskonstante verbleibt dabei im Experiment zu bestimmen; sie ergibt sich zu .
Dimensionen und Maßsysteme Basisgrößen und deren Einheiten in der Physik mini|Die Begriffe von Zeit… mini|… oder Länge, hier veranschaulicht durch das Urmeter, erfassen eigenständige Dimensionen.
Messen einer physikalischen Größe heißt Größenarten (z. B. Geschwindigkeit, Druck) mit etwas vergleichen.
Für solche Vergleiche benötigt man nie mehr als sieben Grundgrößenarten, die man Basisgrößenarten nennt. Für sie sind Basiseinheiten (z. B. Meter, Sekunde) definiert (seit 2019 durch die Festlegung von sieben Naturkonstanten). Jede Basisgrößenart stellt eine eigene Dimension dar, die nicht über die restlichen Basisgrößenarten beschrieben werden kann. Sie sind alle voneinander unabhängig.
Grundgrößensysteme Ein Grundgrößensystem beinhaltet alle Dimensionen, in denen ein Messvorgang stattfindet. Ein System, das alle bekannten Dimensionen – L = Länge, M = Masse, T = Zeit, I = Stromstärke, Θ = thermodynamische Temperatur, N = Stoffmenge und J = Lichtstärke – enthält, heißt {L,M,T,I,Θ,N,J}-System. Es ist ausreichend, um alle Vorgänge in der Natur zu erfassen. In der Mechanik, dem Hauptanwendungsgebiet der Dimensionsanalyse, kann man sich meist auf ein {L,M,T}-System beschränken.
Im Grundgrößensystem selbst ist die explizite Wahl einer Basiseinheit belanglos. Die Länge [L] wird so etwa mit den Basiseinheiten Meter, Fuß, Zentimeter, Yard etc. gemessen. Die Basiseinheit dient aber nur einem Vergleichszweck, sie ist nicht mit der Dimension zu verwechseln.
Grundgrößensysteme können nicht nur aus denjenigen Grundgrößenarten gebildet werden, die auch gleichzeitig Basisgrößenarten sind, sondern auch mit allen anderen. So ist nach Newton die Kraft als zusammengesetzte Größe aus Masse und den Grundgrößenarten Länge und Zeit geeignet, die Masse in einem {L,M,T}-System zu ersetzen. Dann entsteht ein {L,F,T}-System mit der Grundgrößenart Kraft [F] an Stelle der Masse, über die sie definiert ist. Die Kraft besitzt hier als Dimensionsbegriff eine eigene, unabhängige Dimension, welche den Massenbegriff einschließt.
Äquivalenz von Grundgrößensystemen Alle Größenarten eines {M,L,T}-System lassen sich auch in einem {F,L,T}-System angeben. Ein {M,F,L,T}-System darf es wegen der Abhängigkeit von Masse und Kraft nicht geben. Die Forderung nach voneinander unabhängigen Dimensionen wäre verletzt.
Man kann alternativ Grundgrößensysteme wählen, in denen der Druck, die Geschwindigkeit oder die Frequenz Grundgrößen sind. Bedingung ist, dass jede Grundgröße für sich eine von den anderen verwendeten Grundgrößen unabhängige Dimension darstellt.
Man nennt alle Grundgrößensysteme, in denen dieselben Größen dargestellt werden können, äquivalent. Für das Auffinden von so genannten Π-Faktoren ist die explizite Wahl von Grundgrößen belanglos. Sie ist nur eine Frage der bevorzugten Darstellungsweise.
In der Mechanik gebräuchliche Größenarten in einem {M,L,T}-System sind nachfolgend mit ihren Dimensionsformeln aufgelistet. Ihre Einheiten sind Potenzprodukte der Basiseinheiten. Ihre Dimensionsformeln sind Potenzprodukte der Dimensionen, innerhalb derer diese Einheiten beschrieben sind.
In der Mechanik gebräuchliche Größenarten in einem {M,L,T}-System
Größenart Größenbezeichnung(Formelzeichen) Einheit DimensionsformelMasse kg Länge , , , … m Zeit s Frequenz Hz (= 1/s) Winkelgeschwindigkeit 1/s Geschwindigkeit m/s Beschleunigung m/s² Impuls m·kg/s Dichte kg/m³ Kraft N (= kg·m/s²) Wichte N/m³ Druck, Spannung N/m² Elastizitätsmodul N/m² Energie J (= m²·kg/s²) Leistung W (= m²·kg/s³) Dynamische Viskosität N·s/m² Kinematische Viskosität m²/s
Formulierungen, wie „maßgebliche Größe der Dichte“ oder „Einfluss der Größen Geschwindigkeit und Beschleunigung“, sind umgangssprachlich. Diese Verwendung des Begriffs Größe ist im physikalischen Sinne nicht korrekt. Dichte, Geschwindigkeit, Beschleunigung usw. sind Größenarten. Erst in einer Gleichung der Art:
wird eine Größe (man kann auch von Messgröße sprechen) über eine (Maß-)Einheit [m/s] und eine Maßzahl 3 beschrieben. Für technische Zwecke ist dies aber nicht relevant.
Grundgrößensysteme und ihre Transformationen
Jedes Grundgrößensystem kann mithilfe einer Übergangsmatrix, welche die Exponenten der Dimensionen enthält, in ein dazu äquivalentes überführt werden. Möchte man in einem Grundgrößensystem beispielsweise die Dimension der Kraft , gegeben in der Form
,
durch die Masse ausdrücken, so gelingt dies durch die einfache algebraische Umstellung
.
Oder, in übersichtlicher Form dargestellt, mit der Übergangsmatrix der Exponenten
Die Transformation der Grundgrößen des {M,L,T}-Systems zum {F,L,T}-Grundgrößensystem ist durch die Matrizenmultiplikation
.
möglich, wenn die Dimensionsmatrix die Exponenten aller Dimensionsformeln des {M,L,T}-Systems enthält. Die gesuchten Exponenten der Dimensionsformeln im {F,L,T}-System finden sich dann in der Dimensionsmatrix .
Da Länge und Zeit durch die Transformation unberührt bleiben, ändern sich lediglich die Exponenten derjenigen Größen, die mit der Dimension der Masse korreliert sind. Man erkennt, dass sich für einige Grundgrößen, wie beispielsweise den Druck , die Dimensionsformeln vereinfachen. Für andere hingegen, wie die direkt von der Masse abhängende Dichte , jedoch verkomplizieren. Es ist nützlich ein solches Grundgrößensystem zu bilden, in dem sich die Größen des konkreten Problems möglichst einfach darstellen lassen.
Π-Faktoren Definition -Faktoren nennt man diejenigen Produkte, die sich aus einer Matrix wie der obigen Dimensionsmatrix ergeben, wenn man einzelne Größen in beliebige Potenzen erhebt und sie mit anderen in der Matrix vorkommenden Größen derart multipliziert, dass das Produkt dimensionslos wird bzw. die Dimension 1 besitzt. Die Dimension einer Größe wird durch das Klammerzeichen angegeben. Beispielsweise ist das Potenzprodukt
ein -Faktor der Matrix , der die geforderte Dimension
besitzt. Die Dimension 1 bleibt natürlich auch dann erhalten, wenn man in beliebige Potenzen erhebt. Es ist:
Anzahl der Π-Faktoren Es sind beliebig viele Darstellungen eines einmal gefundenen Faktors möglich. Die Anzahl der -Faktoren, die nicht als Potenz eines vorher gefundenen Faktors oder als Produkt von in Potenzen erhobenen Faktoren geschrieben werden können, ist allerdings beschränkt. Über die Existenz dieser -Faktoren in einer gewählten Dimensionsmatrix kann gesagt werden, dass es genau linear unabhängige -Faktoren gibt.
Dabei sind: p: Die Anzahl der dimensionslosen -Faktoren n: Die Anzahl der dimensionsgebundenen Größen r: Der Rang der Matrix .
Formale Vorgehensweise für eine Dimensionsanalyse ist als Dimensionsmatrix mit Zeilen für die Größen und 3 Spalten für 3 Dimensionen zu wählen:
Findet man einen Zeilenvektor mit der Spaltenanzahl , für den gilt:
dann hat man mit:
einen -Faktor von gefunden.
Kontrollmöglichkeiten Die Anzahl linear unabhängiger Zeilenvektoren, die diese Gleichung (2) erfüllen, ist . Ihre lineare Unabhängigkeit beweist man, indem man zeigt, dass der Rang der Matrix , die man aus gefundenen Zeilenvektoren bilden kann, ebenfalls ist.