mini|3D-Ansicht eines Rhombentriakontaeders (Animation) mini|Drahtgittermodell eines Rhombentriakontaeders mini|Netz eines Rhombentriakontaeders
Ein Rhombentriakontaeder ist ein catalanischer Körper und der duale Körper zum Ikosidodekaeder. Es ist auch der Hüllkörper, der durch die Vereinigungsmenge der Durchdringung eines Dodekaeders und Ikosaeders beschrieben wird. Man erhält auch ein Rhombentriakontaeder, indem man gerade Pyramiden auf ein Ikosaeder oder Dodekaeder aufsetzt, von denen je zwei Seitenflächen einander zu einer ergänzen.
Das Rhombentriakontaeder besitzt 30 rhombenförmige Flächen, 32 Ecken und 60 Kanten. An 12 der Ecken grenzen 5 Kanten und an die übrigen 20 Ecken grenzen 3 Kanten an. Das Längenverhältnis der Diagonalen der Rhombenflächen entspricht exakt dem Goldenen Schnitt.
Verwandte Polyeder
Werden auf die 30 Begrenzungsflächen des RhombentriakontaedersKantenlänge a Pyramiden mit den Flankenlängen und aufgesetzt, entsteht ein allgemeines Hexakisikosaeder, sofern folgende Bedingung erfüllt ist:
Das spezielle Hexakisikosaeder mit gleichen Flächenwinkeln an den Kanten und entsteht, wenn ist. Nimmt den zuvor genannten maximalen Wert an, entartet das Hexakisikosaeder zu einem Deltoidalhexakontaeder mit den Kantenlängen und .
Formeln
Für das Polyeder
Größen eines Rhombentriakontaeders Volumen Oberflächeninhalt Inkugelradius Kantenkugelradius Flächenwinkel = 144° Sphärizität ≈ 0,96089 Für die Rhomben
Größen der Rhomben Flächeninhalt Inkreisradius Lange Diagonale Kurze Diagonale Spitze Winkel (2) ≈ 63° 26′ 6″ Stumpfe Winkel (2) ≈ 116° 33′ 54″
Anwendungen In Rollenspielen wird das Rhombentriakontaeder als Würfel (W30) verwendet.
Mit geeigneter Beschriftung der Flächen, z. B. je sechs Exemplaren der ersten fünf Standardwürfel-Punktanordnungen, kann das Rhombentriakontaeder als Karte der alternierenden Gruppe verwendet werden. Man betrachtet dabei eine senkrecht stehende Raute, sowie die rechts und links davon befindlichen je zwei anderen, als derzeitige Permutation und kann mittels Rotation um die rechte oder linke Dreiergruppe als Generatoren die gesamte Gruppe aufspannen.
Anmerkungen
Weblinks
Kategorie:Catalanischer Körper