Darstellende Geometrie ist der Teilbereich der Geometrie, der sich mit den geometrisch-konstruktiven Verfahren von Projektionen dreidimensionaler Objekte auf eine zweidimensionale Darstellungsebene befasst. Die Anwendungsbereiche ihrer Methoden sind breit gefächert und erstrecken sich neben den heute bekanntesten Anwendungen in der Technik- und Architekturdarstellung auch auf Kunst, Malerei, Kartenwesen und Computergraphik. Die Darstellende Geometrie beschränkt sich nicht nur auf das Darstellen von räumlichen Objekten, sondern bietet auch Möglichkeiten raumgeometrische Probleme zeichnerisch zu lösen: z. B. die Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade mit einer Ebene oder die Schnittkurve zweier Flächen oder den Schatten eines Objektes.
mini|Auf- und Seitenriss eines Hauses mini|a) senkr. Parallelprojektionb) Zentralprojektion eines Hauses 250px|mini|Parallelprojektion eines Würfels:a) orthogonalb) schief 200px|mini|Zentralprojektion eines Würfels 250px|mini|Parallelprojektion bzw. Zentralprojektion einer Häuserreihe
Im Gegensatz zu früher (s. Weblink Gangolf Delabar) ist die Darstellende Geometrie nicht mehr das einzige Mittel, um räumliche Objekte anschaulich darzustellen oder raumgeometrische Probleme zu lösen. Hierfür verwendet man heute Computer (s. Weblinks und Geometrische Modellierung). Die Bedeutung der Darstellenden Geometrie liegt heute vielmehr im Training der Benutzer geometrischer Software, damit sie verstehen, was eine Software kann und an Eingaben verlangt. Für erste Skizzen einer (räumlichen) Idee oder Interpretationen und Ergänzungen von Computerzeichnungen ist das Zeichnen mit Zirkel und Lineal eine hervorragende Übung.
Bei der Darstellung räumlicher Objekte in einer Zeichenebene spielen zwei konkurrierende Gesichtspunkte eine wesentliche Rolle. Will man Maßgenauigkeit erreichen, so ist dies meistens nur unter Verlust von Anschaulichkeit möglich. Z. B. lassen die beiden folgenden Bilder eines Hauses leicht auf Länge, Breite und Höhe schließen; sie sind aber nicht sehr anschaulich. Dagegen bringen die nächsten beiden Bilder den räumlichen Eindruck mehr zur Geltung. Genaue Abmessungen lassen sich aber (insbesondere aus dem rechten Bild) nur schwer ablesen.
Abbildungsverfahren In der Darstellenden Geometrie bedient man sich im Wesentlichen zweier Abbildungsverfahren. Dabei werden Punkte und Kurven eines Objektes mit Hilfe von Strahlen (Geraden) auf eine Bildtafel (Bildebene) projiziert:
Parallelprojektion Die Abbildungsstrahlen sind parallel, wie z. B. beim Sonnenlicht. Dabei unterscheidet man noch die beiden Fälle: Die Strahlen stehen senkrecht auf der Bildtafel (senkrechte Parallelprojektion oder Orthogonalprojektion oder Normalprojektion). Die Strahlen stehen nicht senkrecht zur Bildtafel (schiefe oder schräge Parallelprojektion). Parallelprojektionen werden gerne von Ingenieuren verwendet wegen ihrer Teilverhältnistreue (Teilverhältnisse auf Geraden bleiben invariant). Der Spezialfall Vogelperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion, die insbesondere zur Veranschaulichung von Stadtplänen verwendet wird. Sie lässt sich relativ einfach von Hand herstellen. Parallelprojektionen lassen sich schnell als axonometrische Bilder oder bei umfangreicheren Objekten mit Hilfe des Einschneideverfahrens herstellen.
Für fast alle Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie verwendet man Grund- und Aufriss eines Objektes. Das sind senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale (Grundriss) bzw. senkrechte Ebene (Aufriss) (s. Zweitafelprojektion). Durch sie ist (mit den entsprechenden Bezeichnungen) ein Objekt räumlich eindeutig beschrieben.
Zentralprojektion Alle Abbildungsstrahlen gehen durch einen Punkt, dem Projektionszentrum oder Augpunkt . Bei Parallelprojektion sind die Bilder paralleler Geraden i. A. wieder parallel. Bei Zentralprojektionen schneiden sich die Bilder paralleler Geraden i. A. in einem Punkt, dem Fluchtpunkt des Parallelbüschels.
Dass eine Zentralprojektion den besten optischen Eindruck verschafft, zeigen die Bilder mit einer Häuserreihe. Bei dem Bild in Parallelprojektion erscheint das hintere Haus größer als das erste. Dies liegt an einer optischen Täuschung. Das Auge erkennt das Haus als räumliches Objekt und erwartet, dass ein gleich großes, entferntes Haus kleiner ist, was bei Parallelprojektion aber nicht der Fall ist.
Darstellung realer Objekte Um Objekte wie Häuser, Brücken, … in einer handlichen Zeichenebene oder auf einem Bildschirm darstellen zu können, werden die Abmessungen der Objekte üblicherweise vor einer Projektion geeignet skaliert (verkleinert), z. B. mit Faktoren 1/10, 1/50 oder 1/100.
Hilfsmittel Technische Hilfsmittel Klassische Hilfsmittel bei der Erstellung von Zeichnungen sind: Papier als ebene Zeichenfläche, Bleistift, Zirkel, Lineal, Geodreieck und Kurvenlineal als Zeichengeräte. Computer mit geeigneter Software (z. B. Cinderella, GeoGebra, Inkscape, Xfig, …) können heute all diese Hilfsmittel ersetzen. Manuell steuert man solch einen graphikfähigen Computer mit einer Computer-Maus. Will man das Ergebnis schwarz auf weiß auf Papier vor sich haben, verwendet man einen computergesteuerten Drucker. Allerdings werden die klassischen Hilfsmittel (ohne Computer) auch heute noch als Grundlage bei der Ausbildung von Architekten und Ingenieuren verwendet.
Theoretische Hilfsmittel Als theoretische Hilfsmittel verwendet man grundlegende Aussagen aus der klassischen Geometrie: Strahlensätze, die Sätze von Pythagoras und Thales, Sätze über Dreiecke, Sätze über Kegelschnitte (Ellipsen, …), Eigenschaften von Quadriken (Kugel, Kegel, Zylinder, …).
250px|mini|Zentralprojektion einer Brücke in Frontalperspektive 250px|mini|Zentralprojektion einer Brücke mit Spiegelung 250px|mini|Zentralprojektion mit Schatten bei parallelem (Sonnen-)Licht 300px|mini|Schnitt Kegel-Zylinder: Mantellinienverfahren
Methoden der Darstellenden Geometrie Projektionen: Zweitafelprojektion, Axonometrie, Architektenanordnung, Frontalperspektive Die wichtigsten Arbeitsmittel in der Darstellenden Geometrie sind Grund- und Aufriss und deren Zuordnungen. Sie liefern die räumlichen Informationen für spezielle Darstellungen und Konstruktionen. Das Wissen darüber lernt man in Zweitafelprojektion: Gelegentlich ist es nötig, weitere Risse einzuführen. Man spricht dann auch von Umprojektionen und Mehrtafelprojektionen.
Mit Grund- und Aufriss lassen sich dann mit Hilfe von Axonometrie, Einschneideverfahren, Orthogonaler Axonometrie und Umrisskonstruktion (für gekrümmte Flächen; siehe hierzu auch Kanalflächen) anschauliche Bilder von räumlichen Objekten in Parallelprojektion herstellen.
Bilder in Zentralprojektion konstruiert man am besten mit der Architektenanordnung (ähnlich dem Einschneideverfahren für Parallelprojektionen) und der Frontalperspektive (Perspektive mit einem wesentlichen Fluchtpunkt, dem Hauptpunkt). Um verzerrt wirkende Bildteile zu vermeiden, sollte man nach der Wahl der Lage von Bildtafel, Hauptpunkt und Augpunkt zunächst den Sehkreis einzeichnen. Denn nur Bildteile innerhalb des Sehkreises erscheinen im perspektiven Bild unverzerrt.
Durchdringungen: Schnittpunkte und Schnittkurven Eine wichtige Grundaufgabe der Darstellenden Geometrie ist die (zeichnerische) Bestimmung des Schnittpunktes einer Gerade und einer Ebene. Das Verfahren hierzu heißt Durchstoßpunkt-Verfahren. (Rechnerische Verfahren zur Bestimmung eines Schnittpunktes findet man hier.) Durchstoßpunkte werden z. B. benötigt bei der Schattenkonstruktion.
Zu den Grundaufgaben gehören auch die Bestimmung der Schnittpunkte einer Gerade mit Kugel, Kegel oder Zylinder.
Für die Konstruktion von Punkten der Schnittkurve zweier Flächen (Zylinder, Kegel, Kugel, Torus, Rotationsfläche) gibt es vier Standardverfahren: das Hilfsebenenverfahren, das Mantellinienverfahren, das Pendelebenenverfahren und das Hilfskugelverfahren. (Rechnerische Verfahren zur Bestimmung einer Schnittkurve findet man hier.)
Bei der Herstellung von Modellen sich durchdringender Zylinder und/oder Kegel werden oft aufgewickelte Abwicklungen dieser Flächen verwendet. Wie man Zylinder und Kegel abwickelt, wird in Abwicklung beschrieben.
Eintafelprojektionen: kotierte Projektion, Dachausmittlung mini|Kotierte Projektion einer Straße mit einem Teil einer Böschungsfläche
Neben den Zwei- und Mehrtafelprojektionen gibt es noch spezielle Eintafelprojektionen. Dabei handelt es sich um Grundrisse mit Zusatzinformationen, die die Objekte räumlich beschreiben. Im Straßenbau verwendet man die Kotierte Projektion, um Böschungsflächen zu konstruieren und darzustellen. Mit der Konstruktion von Grat-, Kehl- und Firstlinien (Schnittgeraden) von ebenen Dachflächen befasst sich die Dachausmittlung.
Wahre Länge, wahre Gestalt und Rekonstruktion Geneigte Strecken oder ebene Figuren in Parallelprojektionen entzerrt man mit wahrer Länge und wahrer Gestalt. Analoge Methoden für Zentralprojektionen (Fotos) bietet die Rekonstruktion.
mini|Zentralprojektion eines Turmes mit einem Tor (Kreise) mini|Zentralprojektion zweier Kugeln
Kreis und Kugel Kreise und Ellipsen spielen insbesondere als Berandungskurven von Objekten wie Zylindern, Kegeln und Rotationsflächen eine wichtige Rolle (s. Bilder: Turm mit Tor, Brücke in Frontalperspektive). Wie man sie mit Parallelprojektion und Zentralprojektion abbildet und anschließend zeichnet, wird in Ellipse (Darstellende Geometrie) beschrieben. Wichtige Hilfsmittel dabei sind Konjugierte Durchmesser einer Ellipse und die Rytzsche Achsenkonstruktion, mit der man die Hauptachsen einer Ellipse rekonstruiert, um die Ellipse schließlich mit der Scheitelkrümmungskreismethode zu zeichnen.
Die Darstellung einer Kugel ist bei senkrechter Parallelprojektion sehr einfach. Ihr Umriss ist ein Kreis mit dem Radius der Kugel. Bei allen anderen wesentlichen Projektionsarten, wie Vogelperspektive, Kavalierperspektive und Zentralprojektion, erscheint der Umriss einer Kugel, von Sonderfällen abgesehen, als Ellipse. Wie man die Umrissellipse einer Kugel konstruiert, wird in Kugel (Darstellende Geometrie) erklärt.
mini|hochkant=1.3|Grundriss, Aufriss und orthogonale Parallelprojektion einer Wendeltreppe
Schraublinien Schraublinien spielen in der Architektur bei der Darstellung von Wendeltreppen und in der Technik von Schrauben und Spiralbohrer eine wesentliche Rolle. Ihre Darstellung in Grund- und Aufriss, sowie orthogonalen und schiefen Parallelprojektionen wird in Schraublinie (Darstellende Geometrie) beschrieben.
mini|Zimmer in Zentralprojektion mit Wandspiegel
Spiegelungen Wie man in vorhandenen Bildern (Axonometrien oder Zentralprojektionen) Spiegelbilder von Objekten, die durch Reflexion an Wasseroberflächen oder Wandspiegeln entstehen, einzeichnet, wird in Spiegelung (Darstellende Geometrie) erklärt.
Spezielle Perspektiven (Ansichten) 300px|mini|Parallelprojektion:a) Grund- und Aufrissb) Kavalierperspektivec) Militärperspektive 220px|mini|Zentralprojektion:a) Froschperspektiveb) Vogelperspektive 300px|mini|Haus mit zwei Fluchtpunkten (oben) bzw. einem Fluchtpunkt (Frontalperspektive, unten)
Die Grundlage für fast alle Darstellungen und Konstruktionen in der Darstellenden Geometrie sind Grund- und Aufriss: Senkrechte Parallelprojektionen auf eine horizontale bzw. senkrechte Bildtafel. Das Wort Perspektive wird in der Darstellenden Geometrie vielfach benutzt, um besondere anschauliche Ansichten eines räumlichen Objektes zu benennen: Die Kavalierperspektive oder Kabinettperspektive ist eine schiefe Parallelprojektion (s. Axonometrie) auf eine senkrechte Bildtafel. Alle ebenen Figuren, die parallel zur Bildtafel sind, werden unverzerrt abgebildet (s. Bild).