Die Panjer-Verteilung (nach Harry Panjer) ist eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, welche die Verteilungen negative Binomialverteilung, Binomialverteilung (für ) und Poisson-Verteilung in einer Verteilungsklasse vereint. Somit gehört sie zu den univariaten diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilungen. Sie wird in der Versicherungsmathematik als Schadenzahlverteilung eingesetzt, da ihre spezielle rekursive Struktur einen effizienten Algorithmus zur Berechnung der Gesamtschadenverteilung eines Versicherungsportefeuilles ermöglicht.
Charakterisierung Die Klasse der Panjer-Verteilung besteht aus allen Verteilungen auf , für die es Konstanten mit gibt, sodass folgende Rekursionsvorschrift für die Zähldichte gilt:
Die Wahrscheinlichkeit ergibt sich aus der Normierungsbedingung
Eine Folge mit diesen Eigenschaften ist eine spezielle stochastische Folge, die als Panjer-Folge bezeichnet wird.
Wenn man die Rekursionsvorschrift nur für fordert und setzt, erhält man die verschobene Panjer-Verteilung, welche bspw. die logarithmische Verteilung enthält.
Eigenschaften
Erwartungswert und Varianz der Panjer-Verteilung sind gegeben durch
Es ist
woraus folgt, dass
Spezialfälle Jede Panjer-Verteilung ist eine der drei folgenden Verteilungen: Verteilung BinomialPoissonNegativ Binomial
Mit erhält man die Poisson-Verteilung. In diesem Fall ist also .
mini|300px|Panjer- und Binomialverteilung Mit erhält man die Binomialverteilung. In diesem Fall ist .
Mit erhält man die Negative Binomialverteilung (Zählung der Misserfolge). Hier ist nun .
Siehe auch Panjer-Algorithmus
Literatur Thomas Mack: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Verlag Versicherungswirtschaft 2002, ISBN 3-88487-957-X. Heinz-Willi Goelden, Klaus Th. Hess, Martin Morlock, Klaus D. Schmidt, Klaus J. Schröter: Schadenversicherungsmathematik. 2. Auflage, Springer Spektrum Berlin / Heidelberg, 2023, ISBN 978-3-662-68623-2. Einzelnachweise
Kategorie:Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung Kategorie:Verteilungsklasse Kategorie:Univariate Wahrscheinlichkeitsverteilung