mini|rechts|Eine Funktionenfolge, die im nicht-schraffierten Bereich gegen den natürlichen Logarithmus (rot) konvergiert. In diesem speziellen Fall handelt es sich um eine n-te Partialsumme einer Potenzreihe, und n gibt die Anzahl der Summanden an. Eine Funktionenfolge ist eine Folge, deren einzelne Glieder Funktionen sind. Funktionenfolgen und ihre Konvergenzeigenschaften sind für alle Teilgebiete der Analysis von großer Bedeutung. Vor allem wird hierbei untersucht, in welchem Sinne die Folge konvergiert, ob die Grenzfunktion Eigenschaften der Folge erbt oder ob Grenzwertbildungen bei Funktionenfolgen vertauscht werden können. Zu den wichtigsten Beispielen zählen Reihen von Funktionen wie Potenzreihen, Fourier-Reihen oder Dirichletreihen. Hier spricht man auch von Funktionenreihen.
Definition Eine (reelle) Funktionenfolge ist eine Folge von Funktionen . Allgemeiner können Definitions- und Zielmenge auch andere Mengen sein, beispielsweise Intervalle; sie müssen jedoch für alle Funktionen dieselben sein.
Abstrakt kann eine Funktionenfolge als Abbildung
für eine Definitionsmenge und eine Zielmenge definiert werden. Falls als Indexmenge nicht die natürlichen Zahlen gewählt wurden, so spricht man von einer Familie von Funktionen.
Beispiele Vertauschung Grenzwert und Integralzeichen Für die Folge , mit
gilt für jedes fixe , sie konvergiert punktweise gegen die Nullfunktion. Jedoch gilt für alle
also
Punktweise Konvergenz reicht also nicht aus, damit Grenzwert und Integralzeichen vertauscht werden dürfen; damit diese Vertauschung erlaubt ist, ist ein strengeres Konvergenzverhalten, typischerweise gleichmäßige Konvergenz, majorisierte Konvergenz oder monotone Konvergenz, hinreichend.
Potenzreihen In der Analysis treten Funktionenfolgen häufig als Summen von Funktionen, also als Reihe auf, insbesondere als Potenzreihe oder allgemeiner als Laurentreihe.
Fourieranalyse und Approximationstheorie In der Approximationstheorie wird untersucht, wie gut sich Funktionen als Grenzwert von Funktionenfolgen darstellen lassen, wobei insbesondere die quantitative Abschätzung des Fehlers von Interesse ist. Die Funktionenfolgen treten dabei üblicherweise als Funktionenreihen auf, also als Summe . Beispielsweise konvergieren Fourierreihen im -Sinn gegen die darzustellende Funktion. Bessere Approximationen im Sinne der gleichmäßigen Konvergenz erhält man oft mit Reihen aus Tschebyschow-Polynomen.
Stochastik In der Stochastik ist eine Zufallsvariable als messbare Funktion eines Maßraums mit einem Wahrscheinlichkeitsmaß definiert. Folgen von Zufallsvariablen sind daher spezielle Funktionenfolgen, ebenso sind Statistiken wie z. B. der Stichprobenmittelwert Funktionenfolgen. Wichtige Konvergenzeigenschaften dieser Funktionenfolgen sind z. B. das starke Gesetze der großen Zahlen und das schwache Gesetz der großen Zahlen.
Numerische Mathematik In der numerischen Mathematik tauchen Funktionenfolgen beispielsweise bei der Lösung von partiellen Differentialgleichungen auf, wobei ein (nicht notwendigerweise linearer) Differentialoperator und die gesuchte Funktion ist. Bei der numerischen Lösung etwa mit der finiten Elementmethode erhält man Funktionen als Lösung der diskretisierten Version der Gleichung , wobei die Feinheit der Diskretisierung bezeichnet. Bei der Analyse des numerischen Algorithmus werden nun die Eigenschaften der diskretisierten Lösungen , die eine Funktionenfolge bilden, untersucht; insbesondere ist es sinnvoll, dass die Folge der diskretisierten Lösungen bei Verfeinerung der Diskretisierung gegen die Lösung des Ausgangsproblems konvergiert.
Eigenschaften Monotonie
Eine Funktionenfolge heißt monoton wachsend (monoton fallend) auf , wenn ()für alle ist. Sie heißt monoton, wenn sie entweder monoton fallend oder monoton wachsend ist.
Punktweise Beschränktheit Eine Funktionenfolge auf einer Menge , deren Wertevorrat ein normierter Raum ist, heißt punktweise beschränkt, wenn für jeden Punkt die Menge beschränkt ist. Diese Menge ist also die Menge aller Werte, die an der Stelle von einer Funktion der Folge angenommen wird.
Gleichmäßige Beschränktheit Eine Funktionenfolge ist auf einer Menge gleichmäßig beschränkt, falls eine Konstante existiert, so dass für alle und alle .
Eine Funktionenfolge kann also höchstens dann gleichmäßig beschränkt sein, wenn jede einzelne Funktion der Folge beschränkt ist. Für jede einzelne Funktion existiert daher die Supremumsnorm . Eine Funktionenfolge ist nun genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn sie als Menge von Funktionen bezüglich der Supremumsnorm beschränkt ist.
Dies wird auf vektorwertige Funktionen verallgemeinert: Dabei ist eine beliebige Menge, ein reeller oder komplexer normierter Raum mit der Norm . Man bezeichnet die Menge der auf definierten Funktionen, die bezüglich der Norm in beschränkt sind, als und führt auf mit eine Norm ein, die wiederum zu einem normierten Raum macht. Dann ist eine Funktionenfolge mit auf definierten Funktionen genau dann gleichmäßig beschränkt, wenn die Folge eine Teilmenge von ist und als Teilmenge von beschränkt ist.
Eine gleichmäßig beschränkte Funktionenfolge ist notwendigerweise auch punktweise beschränkt.
Lokal gleichmäßige Beschränktheit Eine Funktionenfolge ist auf einer offenen Menge lokal gleichmäßig beschränkt, falls zu jedem eine offene Umgebung und eine Konstante existiert, so dass gilt für alle und alle .
Konvergenzbegriffe Der Grenzwert einer Funktionenfolge wird Grenzfunktion genannt. Da die in den Anwendungen auftretenden Funktionsfolgen sehr unterschiedliches Verhalten bei wachsendem Index haben können, ist es notwendig, sehr viele verschiedene Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen einzuführen. Von einem abstrakteren Standpunkt handelt es sich meist um die Konvergenz bezüglich gewisser Normen oder allgemeiner Topologien auf den entsprechenden Funktionenräumen; vereinzelt treten aber auch andere Konvergenzbegriffe auf.
Die verschiedenen Konvergenzbegriffe unterscheiden sich vor allem durch die implizierten Eigenschaften der Grenzfunktion. Die wichtigsten sind:
Klassische Konvergenzbegriffe Punktweise Konvergenz Existiert der punktweise Grenzwert
in jedem Punkt des Definitionsbereiches, so wird die Funktionenfolge punktweise konvergent genannt. Beispielsweise gilt
die Grenzfunktion ist also unstetig.
Gleichmäßige Konvergenz Eine Funktionenfolge ist gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion , wenn die maximalen Unterschiede zwischen und gegen null konvergieren. Dieser Konvergenzbegriff ist Konvergenz im Sinne der Supremumsnorm.
Gleichmäßige Konvergenz impliziert einige Eigenschaften der Grenzfunktion, wenn die Folgenglieder sie besitzen: Der gleichmäßige Limes stetiger Funktionen ist stetig. Der gleichmäßige Limes einer Folge (Riemann- bzw. Lebesgue-) integrierbarer Funktionen auf einem kompakten Intervall ist (Riemann- bzw. Lebesgue-)integrierbar, und das Integral der Grenzfunktion ist der Limes der Integrale der Folgenglieder: Ist gleichmäßig konvergent gegen , so gilt
Konvergiert eine Folge differenzierbarer Funktionen punktweise gegen eine Funktion und ist die Folge der Ableitungen gleichmäßig konvergent, so ist differenzierbar und es gilt
Lokal gleichmäßige Konvergenz Viele Reihen in der Funktionentheorie, insbesondere Potenzreihen, sind nicht gleichmäßig konvergent, weil die Konvergenz für zunehmende Argumente immer schlechter wird. Verlangt man die gleichmäßige Konvergenz nur lokal, das heißt in einer Umgebung eines jeden Punktes, so kommt man zum Begriff der lokal gleichmäßigen Konvergenz, der für viele Anwendungen in der Analysis ausreicht. Wie bei der gleichmäßigen Konvergenz überträgt sich auch bei lokal gleichmäßiger Konvergenz die Stetigkeit der Folgenglieder auf die Grenzfunktion.
Kompakte Konvergenz Ein ähnlich guter Konvergenzbegriff ist der der kompakten Konvergenz, der gleichmäßige Konvergenz lediglich auf kompakten Teilmengen fordert. Aus der lokal gleichmäßigen Konvergenz folgt die kompakte Konvergenz; für lokalkompakte Räume, die häufig in Anwendungen auftreten, gilt die Umkehrung.
Normale Konvergenz In der Mathematik dient der Begriff der normalen Konvergenz der Charakterisierung von unendlichen Reihen von Funktionen. Eingeführt wurde der Begriff von dem französischen Mathematiker René Louis Baire.
Weiteres Die Frage, welche Konvergenzeigenschaften man wirklich benötigt, um auf Stetigkeitseigenschaften der Grenzfunktion schließen zu können, führte zu den heute nur als historisch geltenden Begriffen der einfach-gleichmäßigen Konvergenz und quasi-gleichmäßigen Konvergenz.
Maßtheoretische Konvergenzbegriffe Bei den maßtheoretischen Konvergenzbegriffen ist die Grenzfunktion üblicherweise nicht eindeutig, sondern nur fast überall eindeutig definiert. Alternativ lässt sich diese Konvergenz auch als Konvergenz von Äquivalenzklassen von Funktionen, die fast überall übereinstimmen, auffassen. Als eine solche Äquivalenzklasse ist dann der Grenzwert eindeutig bestimmt.
Punktweise Konvergenz fast überall
Sind ein Maßraum und eine Folge darauf messbarer Funktionen mit Definitionsmenge gegeben, so wird die Funktionenfolge punktweise konvergent fast überall bezüglich genannt, wenn der punktweise Grenzwert
fast überall bezüglich existiert, wenn also eine Menge vom Maß Null () existiert, sodass eingeschränkt auf das Komplement punktweise konvergiert.
Die Konvergenz fast überall bezüglich eines Wahrscheinlichkeitsmaßes wird in der Stochastik fast sichere Konvergenz genannt.
Beispielsweise gilt punktweise fast überall bezüglich des Lebesgue-Maßes.
Ein anderes Beispiel ist die Funktionenfolge , wobei für ,
Diese Folge konvergiert für kein , da sie für jedes fixe die Werte 0 und 1 unendlich oft annimmt. Für jede Teilfolge lässt sich aber eine Teilteilfolge angegeben, sodass punktweise fast überall bezüglich des Lebesgue-Maßes.
Gäbe es eine Topologie der punktweisen Konvergenz fast überall, so würde daraus, dass jede Teilfolge von eine Teilteilfolge enthält, die gegen 0 konvergiert, folgen, dass gegen 0 konvergieren muss. Da aber nicht konvergiert, kann es folglich keine Topologie der Konvergenz fast überall geben. Die punktweise Konvergenz fast überall ist damit ein Beispiel eines Konvergenzbegriffes, der zwar den Fréchet-Axiomen genügt, aber nicht durch eine Topologie erzeugt werden kann.J. Cigler, H.-C. Reichel: Topologie. Eine Grundvorlesung. Bibliographisches Institut, Mannheim 1978. ISBN 3-411-00121-6. S. 88, Aufgabe 6
Konvergenz dem Maße nach
In einem Maßraum wird eine Folge darauf messbarer Funktionen konvergent dem Maße nach gegen eine Funktion genannt, wenn für jedes
gilt.A.N. Kolmogorow und S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 5.4.6, Definition 4.
In einem endlichen Maßraum, also wenn gilt, ist die Konvergenz dem Maße nach schwächer als die Konvergenz fast überall: Konvergiert eine Folge messbarer Funktionen fast überall gegen Funktion , so konvergiert sie auch dem Maße nach gegen .A.N. Kolmogorow und S.V. Fomin: Reelle Funktionen und Funktionalanalysis. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1975, 5.4.6, Satz 7.
In der Stochastik wird die Konvergenz dem Maße nach als Stochastische Konvergenz oder als Konvergenz in Wahrscheinlichkeit bezeichnet.Marek Fisz: Wahrscheinlichkeitsrechnung und mathematische Statistik. Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin 1989, S. 212.
Eine Abschwächung der Konvergenz dem Maße nach ist die Konvergenz lokal nach Maß. Auf endlichen Maßräumen stimmen beide Begriffe überein.
Lp-Konvergenz und Konvergenz in Sobolew-Räumen
Eine Funktionenfolge heißt konvergent gegen oder konvergent im p-ten Mittel, wenn sie im Sinne des entsprechenden Lp-Raums konvergiert, wenn also