Die Maxwell-Gleichungen von James Clerk Maxwell (1831–1879) beschreiben die Phänomene des Elektromagnetismus. Sie sind damit ein wichtiger Teil des modernen physikalischen Weltbildes.
Die Gleichungen beschreiben, wie elektrische und magnetische Felder untereinander sowie mit elektrischen Ladungen und elektrischem Strom unter gegebenen Randbedingungen zusammenhängen. Zusammen mit der Lorentzkraft beschreiben sie alle Phänomene der klassischen Elektrodynamik. Sie bilden daher auch die theoretische Grundlage der Optik und der Elektrotechnik. Die Gleichungen sind nach dem schottischen Physiker James Clerk Maxwell benannt, der sie von 1861 bis 1864 erarbeitet hat. Er kombinierte dabei das Durchflutungsgesetz und das Gaußsche Gesetz mit dem Induktionsgesetz. Um die Ladungserhaltung zu gewährleisten, führte er zusätzlich den nach ihm benannten Maxwellschen Verschiebungsstrom ein.
mini|hochkant=1.2|James Clerk Maxwell Die Maxwell-Gleichungen sind ein spezielles System von linearen partiellen Differentialgleichungen erster Ordnung. Sie lassen sich auch in integraler Form, in differentialgeometrischer Form und in kovarianter Form darstellen.
Die allgemeinen Lösungen der Maxwell-Gleichungen werden durch die Panofsky-Phillips-Gleichungen sowie durch die Jefimenko-Gleichungen angegeben; beide ermöglichen es, die elektrischen und magnetischen Felder direkt durch ihre physikalischen Quellen, nämlich zeitabhängige Ladungs- und Stromdichten, auszudrücken.
Maxwell-Gleichungen im Feldlinienbild mini|hochkant=1.2|Die Feldlinien des elektrischen Feldes verlaufen zwischen den positiven und negativen Ladungen. mini|hochkant=1.2|Die Feldlinien der magnetischen Flussdichte bilden geschlossene Bahnen oder sind unendlich lang. Das elektrische und das magnetische Feld können durch Feldlinien dargestellt werden. Das elektrische Feld wird hierbei durch die Felder der elektrischen Feldstärke und der elektrischen Flussdichte beschrieben, während das magnetische Feld durch die Felder der magnetischen Feldstärke und der magnetischen Flussdichte beschrieben wird.
Die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte können prinzipiell durch die Kraftausübung auf Ladungen veranschaulicht werden. Die Zusammenhänge werden im Artikel über die Lorentzkraft genauer beschrieben. Im Falle des elektrischen Feldes zeigt der Verlauf der elektrischen Feldstärke die Richtung der vom Feld ausgeübten Kraft an (die Kraft wirkt in Richtung der Tangente an die Feldlinie am jeweiligen Ort), die Feldliniendichte (die Nähe der Feldlinien zueinander) stellt die Feldstärke in diesem Gebiet dar. Im Falle des magnetischen Feldes wirkt die Kraft normal zur Richtung der magnetischen Flussdichte und normal zur Bewegungsrichtung der Ladung.
In der folgenden Abbildung wird das Feldlinienbild anhand einer positiven und einer negativen Ladung verdeutlicht. Das elektrische Feld ist an den Ladungsträgern am stärksten und nimmt mit größerer Entfernung ab:
In Quellenfeldern zeichnen sich die Feldlinien durch einen Anfang und ein Ende aus (oder verschwinden im Unendlichen). In Wirbelfeldern sind die Feldlinien geschlossene Kurven.
Das Gaußsche Gesetz für elektrische Felder besagt, dass elektrische Ladungen Quellen und Senken des Feldes der elektrischen Flussdichte sind, also Anfang und Ende der zugehörigen Feldlinien darstellen. Elektrische Felder ohne Quellen und Senken, sogenannte Wirbelfelder, treten hingegen bei Induktionsvorgängen auf. Das Gaußsche Gesetz für den Magnetismus besagt, dass das Feld der magnetischen Flussdichte keine Quellen aufweist. Die magnetische Flussdichte hat demzufolge nur Feldlinien, welche kein Ende besitzen. Eine magnetische Feldlinie ist daher entweder unendlich lang oder führt in einer geschlossenen Bahn wieder auf sich selbst zurück. Induktionsgesetz von Faraday: Zeitliche Änderungen des magnetischen Flusses führen zu einem elektrischen Wirbelfeld. Erweitertes Ampèresches Gesetz, auch Durchflutungs- oder Maxwell-Ampèresches Gesetz genannt: Elektrische Ströme – einschließlich einer zeitlichen Änderung der elektrischen Flussdichte – führen zu einem magnetischen Wirbelfeld.
Gleichungen Im engeren Sinne sind die Maxwell-Gleichungen die mathematische Beschreibung dieser Gesetze. Direkt analog zu den Gesetzen kann man sie mit vierWolfgang Nolting: Grundkurs Theoretische Physik 3, Kap. 4.1.3, books.google.de; darin ist von vier Gleichungen die Rede gekoppelten Differentialgleichungen beschreiben, es gibt jedoch auch weitere äquivalente Formulierungen.
Notation Es werden die Methoden der Vektoranalysis (und damit verbunden Oberflächenintegral, Kurvenintegral) verwendet. bezeichnet den Nabla-Operator. Die Differentialoperatoren bedeuten: bezeichnet die Divergenz von bezeichnet die Rotation von
Mikroskopische Maxwell-Gleichungen Die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen verknüpfen die elektrische Feldstärke und die magnetische Flussdichte mit der Ladungsdichte (Ladung pro Volumen) und der elektrischen Stromdichte (Strom pro durchflossene Fläche).
Name SI Physikalischer Inhalt Gaußsches Gesetz für elektrische Felder Elektrische Feldlinien besitzen Anfang (Quelle) und Ende (Senke). Das elektrische Feld ist ein Quellenfeld. Die elektrische Ladung ist eine Quelle des elektrischen Feldes. Gaußsches Gesetz für Magnetfelder Magnetische Feldlinien besitzen keinen Anfang und kein Ende und sind in sich geschlossen. Das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole. Induktionsgesetz Änderungen der magnetischen Flussdichte führen zu einem elektrischen Wirbelfeld.Das Minuszeichen schlägt sich in der Lenzschen Regel nieder. Erweitertes Durchflutungsgesetz Elektrische Ströme – einschließlich des Verschiebungsstroms – führen zu einemmagnetischen Wirbelfeld.
Dabei kann auch eingesetzt werden.
Makroskopische Maxwell-Gleichungen mini|hochkant=1.5|Mikroskopische elektrische Dipole und Kreisströme sowie die nicht dargestellten Spindipole (relativistische Quantentheorie) führen zu makroskopischen Polarisationen bzw. . Bei Anwesenheit von Materie sind die mikroskopischen Maxwell-Gleichungen einerseits unhandlich, da schließlich jeder Ladungsträger in jedem Atom des Mediums berücksichtigt werden muss. Andererseits können die magnetischen Eigenschaften (beispielsweise eines Permanentmagneten) prinzipiell nicht ohne zusätzliche physikalische Erkenntnisse der Quantenmechanik aus den mikroskopischen Maxwell-Gleichungen abgeleitet werden.
Die makroskopischen Maxwell-Gleichungen berücksichtigen die Eigenschaften der Materie in Form von Materialparametern, wobei dem leeren Raum die Parameter Permittivität und Permeabilität zugeordnet werden. Maxwell selbst ging nicht von einem leeren Raum, sondern – wie zu seiner Zeit üblich – von dem mit einem sogenannten „Äther“ erfüllten Raum aus. Die Bezeichnung „makroskopisch“ kommt dadurch zustande, dass die Eigenschaften der Materie letztlich örtlich gemittelte Eigenschaften der Materie kennzeichnen. Im Hinblick auf die Ladungen wird dabei zwischen freien Ladungsträgern (etwa Leitungselektronen im elektrischen Leiter) und gebundenen Ladungsträgern (etwa Hüllenelektronen) unterschieden, und es wird davon ausgegangen, dass die gebundenen Ladungsträger durch mikroskopische ProzesseDiese mikroskopischen Prozesse werden im Allgemeinen durch die Quantenmechanik beschrieben, wobei im Falle des Spinmagnetismus sogar die relativistische Form der Quantenmechanik, die sogenannte Dirac-Gleichung, herangezogen werden muss. zu einer makroskopischen Polarisation bzw. Magnetisierung führen.
Die Anwesenheit von Materie erfordert, dass das elektrische und das magnetische Feld jeweils durch zwei zusätzliche Vektorfelder beschrieben werden, die elektrische Flussdichte und die magnetische Feldstärke .
Name SI Physikalischer Inhalt Gaußsches Gesetz für elektrische Felder Die elektrische Ladung ist Quelle des elektrischen Feldes. Gaußsches Gesetz für Magnetfelder Das Feld der magnetischen Flussdichte ist quellenfrei;es gibt keine magnetischen Monopole. Induktionsgesetz Änderungen des magnetischen Feldes führen zu einemelektrischen Wirbelfeld. Erweitertes Durchflutungsgesetz Elektrische Ströme – einschließlich des Verschiebungsstroms –führen zu einem magnetischen Wirbelfeld. und es ist z. B.
Differentielle und integrale Formulierung In den folgenden Abschnitten bzw. Tabellen wird bezüglich der Indizierung von Ladung und Strom eine semantisch äquivalente Konvention benutzt. Und zwar werden bzw. ohne Index geschrieben und als „wahre Ladungen“ bzw. „wahre Ströme“ bezeichnet, während umgekehrt die in den 'mikroskopischen Gleichungen' auftretenden nichtindizierten Größen als Effektivgrößen bzw. geschrieben werden. Im Vakuum gelten die „mikroskopischen Gleichungen“ und auf die Indizierung kann verzichtet werden. Die folgenden Gleichungen gelten dagegen in Materie, und man ist auf eine einheitliche Schreibweise angewiesen, meistens die unten benutzte, obwohl auch hier unterschiedliche Konventionen nicht ausgeschlossen sind.
Übersicht
Hier werden u. a. die Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten angegeben. Formulierungen in anderen Einheitensystemen sind am Schluss aufgeführt bzw. werden durch Bemerkungen im Text erläutert.
Die im Folgenden in der rechten Spalte im Zentrum von einfachen oder zweifachen Integralen angegebenen Symbole betonen, dass man es mit geschlossenen Kurven bzw. Flächen zu tun hat.
+Maxwell-Gleichungen in SI-Einheiten differentielle Form verknüpfender Integralsatz Integralform Physikalisches gaußsches GesetzDas -Feld ist ein Quellenfeld. Die Ladung (Ladungsdichte ) ist Quelle des elektrischen Feldes. Gauß Der (elektrische) Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist direkt proportional zu der elektrischen Ladung in seinem Inneren. Quellenfreiheit des B-FeldesDas -Feld ist quellenfrei. Es gibt keine magnetischen Monopole. Gauß Der magnetische Fluss durch die geschlossene Oberfläche eines Volumens ist gleich der magnetischen Ladung in seinem Inneren, nämlich Null, da es keine magnetischen Monopole gibt. InduktionsgesetzJede Änderung des -Feldes führt zu einem elektrischen Gegenfeld. Die Wirbel des elektrischen Feldes sind von der zeitlichen Änderung der magnetischen Flussdichte abhängig. Stokes Die (elektrische) Zirkulation über der Randkurve einer Fläche ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch die Fläche.Das eingeklammerte Doppelintegral ist Null, wenn die magnetische bzw. elektrische Induktion konstant bleibt. Auch in diesem Fall ergibt sich aber ein elektromotorischer Effekt, wenn in der betrachteten Zeit eine Änderung der Integrationsfläche auftritt, die zu einer Lorentzkraft führt.Siehe dazu die zweite der im unmittelbar folgenden Abschnitt angegebenen Gleichungen. Durchflutungsgesetz Die Wirbel des Magnetfeldes hängen von der Leitungsstromdichte und von der elektrischen Flussdichte ab.Die zeitliche Änderung von wird auch als Verschiebungsstromdichte bezeichnet und ergibt als Summe mit der Leitungsstromdichte die totale Stromdichte In der Physikliteratur, und wenn aus dem Zusammenhang eindeutig erkennbar, wird die Leitungsstromdichte meist als bezeichnet. In der Elektrotechnik ist die Bezeichnung üblich. Stokes Die magnetische Zirkulation über der Randkurve einer Fläche ist gleich der Summe aus dem Leitungsstrom und der zeitlichen Änderung des elektrischen Flusses durch die Fläche.
Erläuterungen Zu beachten ist, dass alle Größen aus einem beliebigen, aber für alle Größen gleichen Inertialsystem gemessen werden müssen. Soll mithilfe der o. g. Gleichungen beispielsweise die induzierte Spannung in einer bewegten Leiterschleife betrachtet werden, so ist es günstig, die Größen in den bewegten Teilen des Systems mithilfe der Lorentztransformation in das Ruhesystem umzurechnen.
In diesem Zusammenhang sei erwähnt, dass manche Lehrbücher anstelle des Induktionsgesetzes folgende Näherung notieren: