Teilbarkeit ist in der Zahlentheorie, einem der Teilgebiete der Mathematik, eine zweistellige Relation in der Menge der ganzen Zahlen. Hierbei ist eine ganze Zahl durch eine andere ganze Zahl teilbar, wenn bei der Division kein Rest verbleibt, also die „Geteilt-Rechnung aufgeht“.

So ist beispielsweise die Zahl 8 durch 4 teilbar, da 8 : 4 genau 2 ergibt. Somit sind 4 und dann auch 2 Teiler von 8. Dagegen ist die Zahl 9 nicht durch 4 teilbar, weil die 4 zweimal in die 9 „geht“, aber ein Rest von 1 übrig bleibt. Einen Sonderfall bildet die 0, die ein Teiler von sich selbst ist, obwohl Division durch 0 im Allgemeinen nicht definiert ist.

Die Zahl 11 hat nur zwei Teiler: 1 und die Zahl 11 selbst. Solche Zahlen nennt man Primzahlen. Die Zahl 12 dagegen hat viele Teiler: 1, 2, 3, 4, 6 und 12. Solche Zahlen nennt man hochzusammengesetzte Zahlen.

Die Funktion, die einer natürlichen Zahl die Anzahl ihrer Teiler zuordnet, ist eine zahlentheoretische Funktion (die Teileranzahlfunktion). In der elementaren Zahlentheorie ist der Begriff Teilbarkeit auf natürliche Zahlen beschränkt. In der Algebra dagegen wird der Begriff Teilbarkeit auf Integritätsringe, kommutative Ringe und nicht-kommutative Ringe erweitert.

Definition Eine ganze Zahl teilt eine ganze Zahl genau dann, wenn es eine ganze Zahl gibt, so dass ist. Man sagt dann „ ist Teiler von “, „ teilt “, „ ist teilbar durch “ oder „ ist ein Vielfaches von “. Man schreibt dafür

und nennt die Teilerrelation. Für das Gegenteil, wenn es also keine ganze Zahl gibt mit , schreibt man: . Insbesondere für Primzahlpotenzen gibt es die Sprechweise: teilt die ganze Zahl exakt, geschrieben , wenn die größte Potenz der Primzahl ist, die teilt. In Formeln: Beispiel: . Die exakte Teilbarkeit von durch hat die Teilerfremdheit von und zur Folge: .Erläuterung zu Die Definition der exakten Teilbarkeit ist auch auf andere Zahlen als Primzahlpotenzen anwendbar; Beispiel: .

Einfache Folgerungen

Schreibt man denselben Sachverhalt in der Form , so erkennt man, dass jede Zahl ein Teiler von ist.

Die ist das neutrale Element der Multiplikation, d. h. die Multiplikation mit ändert einen Ausgangswert nicht. Zu den Elementen gibt es ein multiplikatives Inverses, nämlich ein Element mit . Solche Elemente werden Einheiten des Rings genannt. Einheiten sind triviale Teiler einer jeden ganzen Zahl. Die Einheiten des Rings der ganzen Zahlen sind gerade die Zahlen . (Die Einheiten eines Rings bilden eine multiplikative Gruppe.)

Es gelte und . Ist keiner der trivialen Teiler , so nennt man einen nichttrivialen Teiler oder echten Teiler von . Eine ganze Zahl, die nicht Einheit ist und die nur die trivialen Teiler besitzt, nennt man Primelement und, wenn sie ist, Primzahl. Ist eine Primzahl, so heißt Primteiler oder Primfaktor von .

Die Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl nennt man die „Teilermenge von “. Die Quasiordnung der Teilbarkeit induziert auf ihr die Struktur eines Verbandes, man spricht deshalb auch vom „Teilerverband von “.

Die Menge aller Vielfachen einer natürlichen Zahl heißt entsprechend Vielfachenmenge. Bei den ganzen Zahlen ist die Mächtigkeit dieser Menge abzählbar unendlich.

Eigenschaften der Teilbarkeit Jede Zahl besitzt mindestens ihre trivialen Teiler, insbesondere sind die Einheiten Teiler einer jeden ganzen Zahl. Jede ganze Zahl ist ein (trivialer) Teiler der . Jede ganze Zahl teilt sich selbst (Reflexivität der Quasiordnung). Der kleinste positive Teiler einer ganzen Zahl ist ein Primteiler.

Seien , , und ganze Zahlen.

Gilt , so gilt auch und . Man kann sich also bei der Untersuchung des Teilbarkeitsbegriffs auf natürliche Zahlen beschränken. Gilt und , so folgt (Transitivität der Quasiordnung). Für gilt: . Gilt und , so gilt auch . Gilt und , so gilt auch für alle ganzen Zahlen und . Gilt und so ist oder .

Die natürlichen Zahlen sind mit der Teilbarkeitsrelation eine quasigeordnete Menge, sogar ein vollständiger distributiver Verband, dessen Verknüpfungen durch kgV und ggT gegeben sind. Das kleinste Element ist die ( teilt jedes andere), das größte ist die ( wird von jedem anderen geteilt).

Teilbarkeitsregeln im Dezimalsystem

Zweier-Potenzen Eine Zahl ist genau dann durch 2 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8). Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 4 teilbar, wenn die Summe aus der letzten Ziffer und dem Doppelten der vorletzten Ziffer durch 4 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 8 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 8 teilbar, wenn die Summe aus der letzten Ziffer, dem Doppelten der vorletzten Ziffer und dem Vierfachen der vorvorletzten Ziffer durch 8 teilbar ist. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten Ziffern gebildet wird, durch teilbar ist.

Fünfer-Potenzen Eine Zahl ist genau dann durch 5 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer durch 5 teilbar ist (0 oder 5). Eine Zahl ist genau dann durch 25 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten beiden Ziffern gebildet wird, durch 25 teilbar ist (00, 25, 50 oder 75). Eine Zahl ist genau dann durch 125 teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten drei Ziffern gebildet wird, durch 125 teilbar ist (000, 125, 250, 375, 500, 625, 750, 875). Allgemein ist eine Zahl genau dann durch teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten Ziffern gebildet wird, durch teilbar ist.

Zehner-Potenzen Eine Zahl ist genau dann durch 10 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 100 teilbar, wenn die Zahl mit 00 endet. Eine Zahl ist genau dann durch 1000 teilbar, wenn die Zahl mit 000 endet. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch teilbar, wenn ihre letzten Ziffern jeweils 0 sind.

Produkte aus Zweier- und Fünfer-Potenzen Eine Zahl ist genau dann durch 20 teilbar, wenn ihre vorletzte Ziffer gerade ist (0, 2, 4, 6 oder 8) und ihre letzte Ziffer 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 40 teilbar, wenn die Zahl, die aus der drittletzten und vorletzten Ziffer gebildet wird, durch 4 teilbar ist und die letzte Ziffer eine 0 ist. Eine Zahl ist genau dann durch 50 teilbar, wenn die Zahl auf 00 oder 50 endet. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch teilbar, wenn die Zahl, die aus ihren letzten Ziffern gebildet wird, durch teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf Quersummen Will man für eine Zahl eine Teilbarkeitsregel mit Quersummen aufstellen, so sucht man nach einem Vielfachen, das entweder oder für ein beliebiges ist. Im ersten Fall kann die Teilbarkeit mit der nichtalternierenden -Quersumme, im zweiten Fall mit der alternierenden -Quersumme überprüft werden.

Entsprechende Faktoren existieren für alle Zahlen, die mit 10 teilerfremd sind. Allerdings ist die Prüfung zum Teil schon für relativ kleine Zahlen unpraktisch (siehe zum Beispiel die unten angegebenen Regeln für Teilbarkeit durch 17 und 19).

Für die Teilbarkeit von Zahlen unter 10 kann man noch ausnutzen, dass eine Ziffer, die größer gleich der Zahl ist, um diese verringert werden kann. So ist bei der Teilbarkeit durch 7 und dem Beispiel 3815 die Ziffer 8 größer gleich 7, also kann man auch direkt 3115 prüfen. Der Grund ist hier, dass 700 natürlich auch durch 7 teilbar ist (allgemein ).

Teilbarkeitsregeln basierend auf nichtalternierenden Quersummen Ist ein Vielfaches der betrachteten Zahl , dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch teilbar ist.“

Beispielsweise ist ein Vielfaches von 3, so dass die Teilbarkeit durch 3 anhand der (1er-)Quersumme geprüft werden kann.

Eine Zahl ist genau dann durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 6 teilbar, wenn sie durch 2 und durch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der alternierenden Quersumme (siehe unten). Eine Zahl ist genau dann durch 21 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 6er-Quersumme durch 21 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 27 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 27 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 33 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 33 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 37 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 37 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 41 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 5er-Quersumme durch 41 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 99 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 2er-Quersumme durch 99 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 111 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 111 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 333 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 333 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 999 teilbar, wenn ihre nichtalternierende 3er-Quersumme durch 999 teilbar ist. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch teilbar ist. Allgemein ist eine Zahl genau dann durch (Repunitzahl) teilbar, wenn ihre nichtalternierende -Quersumme durch teilbar ist.

Die Quersumme muss nicht vollständig berechnet werden, sondern es genügt, den Rest einer Ziffer (oder Zifferngruppe) bei Division durch zu berücksichtigen. Es kann auch nach jeder Addition der Rest bei Division durch berechnet werden. Um z. B. zu ermitteln, ob 7654 durch 3 teilbar ist, kann man rechnen: Ziffer 7: Rest bei Division durch 3 ist 1: Summe 1 (Quersumme ) Ziffer 6: Rest bei Division durch 3 ist 0: Summe 1 ändert sich nicht (Quersumme ) Ziffer 5: diesmal ohne Bestimmung des Rests: Summe 1+5=6, Rest bei Division durch 3 ist 0 (Quersumme ) Ziffer 4: Summe 0+4=4, Rest bei Division durch 3 ist 1 (Quersumme ) Da der im letzten Schritt berechnete Rest nicht Null ist, ist 7654 nicht durch 3 teilbar.

Herleitung: ist die Dezimaldarstellung der Zahl , dann gilt

Dabei bezeichnet die -Quersumme von . Diese Quersumme ist also genau dann durch teilbar, wenn durch teilbar ist. Also ist diese Quersumme genau dann durch teilbar, wenn durch teilbar ist.

Teilbarkeitsregeln basierend auf alternierenden Quersummen Ist hingegen ein Vielfaches der betrachteten Zahl , dann gilt die Teilbarkeitsregel: „Eine Zahl ist genau dann durch teilbar, wenn ihre alternierende -Quersumme durch teilbar ist.“

Betrachtet man beispielsweise die Zahl 7, so kann man durch Ausprobieren sehen, dass . Daraus ergibt sich dann die Teilbarkeitsregel mit einer alternierenden 3er-Quersumme.

Eine Zahl ist genau dann durch 7 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 7 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 11 teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch 11 teilbar ist. Es gibt auch eine Teilbarkeitsregel mit der nichtalternierenden 2er-Quersumme (siehe oben). Eine Zahl ist genau dann durch 13 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 13 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 17 teilbar, wenn ihre alternierende 8er-Quersumme durch 17 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 19 teilbar, wenn ihre alternierende 9er-Quersumme durch 19 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 23 teilbar, wenn ihre alternierende 11er-Quersumme durch 23 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 73 teilbar, wenn ihre alternierende 4er-Quersumme durch 73 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 77 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 77 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 91 teilbar, wenn ihre alternierende 3er-Quersumme durch 91 teilbar ist. Eine Zahl ist genau dann durch 101 teilbar, wenn ihre alternierende 2er-Quersumme durch 101 teilbar ist.