Das Stoner–Wohlfahrt-Modell beschreibt die Magnetisierung eines Ferromagneten, der aus nur einer magnetischen Domäne besteht. Es ist ein einfaches Beispiel für magnetische Hysterese und wird zur Modellierung von kleinen magnetischen Partikeln genutzt wie zum Beispiel in Magnetspeichern, Biomagneten, in der Geologie und im Paläomagnetismus.
Geschichte Das Stoner-Wohlfahrt-Modell wurde von Edmund Clifton Stoner und Erich Peter Wohlfarth entwickelt und 1948 veröffentlicht. Es beinhaltet eine numerische Berechnung der integrierten Reaktion von zufällig ausgerichteten Magneten. Stoner und Wohlfahrt führten die Berechnungen mithilfe von Tabellen für trigonometrische Funktionen und mit händischen Rechnungen aus.
Beschreibung mini|upright=1.4|Illustration der Variablen des Stoner–Wohlfarth-Modells. Die gestrichelte Linie ist die leichte Achse der magnetischen Anisotropie des Teilchens.
Formulierung Die magnetische Energie des Systems ist gegeben durch:
Das System ist im Gleichgewicht, wenn auf die Magnetisierung keine Gesamtkraft wirkt. Das passiert in diesem Modell, wenn die Ableitung der Energie nach der Magnetisierung verschwindet, sich das System also in einem Energieminimum befindet:
dabei ist das Volumen des Magneten, die Sättigungsmagnetisierung (die maximal mögliche Magnetisierung in hohen Magnetfeldern) und ist die magnetische Permeabilität des Vakuums. Der erste Summand beschreibt die magnetische Anisotropie, wobei eine Abweichung der Magnetisierung von der einfachen Achse mit einem winkelabhängigen Term Energie beiträgt. Der zweite (negative) Term beschreibt die Zeeman-Energie, die Wechselwirkung zwischen dem magnetischen Moment des Partikels und dem Feld. Die Winkelabhängigkeit hier kommt daher, dass nur der Magnetisierungsanteil (anti-)parallel zum Feld zur Zeeman-Energie beiträgt.
Stoner und Wohlfahrt haben die Energie normiert, da Konstanten sind. wird zur Vereinfachung eingeführt:
Um ein tatsächliches Minimum zu erreichen, muss die zweite Ableitung positiv sein: mit
Im feldfreien Fall () liegt die Magnetisierung entlang der leichten Achse, da so die Anisotropiekosten minimert werden. Im Grenzfall eines sehr großen Feldes, , zeigt die Magnetisierung entlang des Magnetfeldes.
Hysterese mini|upright=1.4|Eine beispielhafte Lösung des Stoner–Wolhfarth–Modells. Sowohl als auch liegen zwischen −1 und +1. Die durchgezogenen roten und blauen Linien markieren die Energieminima, die gestrichelten Linien die -maxima. Für drei vertikale Profile sind Energieprofile über eingezeichnet.
Für alle möglichen gibt es zwei Lösungen für mit . Diese werden dadurch bestimmt, dass als Variable belassen wird und nach aufgelöst wird. Für und , also entweder eine mehrheitlich entlang bzw. entgegen dem Feld ausgerichtete Magnetisierung gibt es jeweils einen Kurvenverlauf der Magnetisierung. entspricht .
Da die Komponente der Magnetisierung entlang des Magnetfeldes ist, wird in den so erlangten Kurven normalerweise auf die Abszisse und auf die Ordinate aufgretragen (siehe Abbildung).
In einer normalen Hysteresemessung wird mit einem großen positiven begonnen, welches bis zu großen negativen Werten variiert wird. In der obigen Abbildung beginnt der Verlauf auf der blauen Kurve. Bei beginnt die rote Kurve der entgegengesetzten Magnetisierung, die allerdings für positive noch energetisch ungünstig ist. Ab einem negativen Feldwert ist die rote Kurve energetisch günstiger, ein Übergang durch Sprung der Magnetisierung ist aber nicht möglich wegen einer Energiebarriere wie im Bild dargestellt. Ab verschwindet die Barriere und eine abrupte Umkehr der Magnetisierung passiert. Bis wieder mindestens den Wert überschreitet, bleibt die Magnetisierung in dieser Ausrichtung „gefangen“. Normalerweise wird nur die Hysteresekurve gezeigt, die Energiemaxima sind nur von Interesse, wenn der Effekt von thermischem Rauschen explizit behandelt wird.
Die Energiebarrieren sind relevant bei der Berechnung des Verhaltens eines Superparamagneten. Das ist beispielsweise relevant in der Betrachtung der Stabilität eines Magnetspeichers. Eine explizite Lösung für ein konstantes Feld wurde 2009 gefunden.
Das Stoner–Wohlfarth–Modell ist ein Musterbeispiel für magnetische Hysterese. Die Hystereseschleife ist symmetrisch bei einer Rotation um 180° um den Koordinatenursprung und sowohl Sprünge wie auch die Hysterese selber kommen bei dem Sprungfeld vor.
Richtungsabhängigkeit links|mini|upright=1.4|Einige Hysteresekurven nach dem Stoner–Wohlfahrt–Modell für verschiedene Winkel
Die Form der Hysteresekurve ist stark vom Winkel zwischen dem Magnetfeld und der Anisotropieachse abhängig. Sind beide parallel, also , ist die Hysteresekurve am weitesten ausgedehnt und (oben definiert). Die Magnetisierung startet parallel zum Feld und rotiert erst beim Erreichen von um 180°. Je größer der Winkel, desto signifikanter die Sprünge. Bei treten hingegen gar keine Sprünge auf, da das Feld senkrecht zur Anisotropieachse steht. Die Magnetisierung rotiert dann kontinuierlich (die Wahl der Rotationswege ist allerdings willkürlich).
Für einen fixen Winkel ist das Sprungfeld der Punkt, an dem das System aus einem Energieminimum () in ein Energiemaximum () wechselt. Daher kann es direkt mit den obigen Gleichungen gelöst werden, weil dort gilt
Die Lösung ist damit Stoner und Wohlfarth berechneten die Hysteresekurve für ein isotropes System bestehend aus zufällig ausgerichteten, identischen Teilchen. Das Ergebnis der Berechnung ist in der Abbildung zu sehen: Für durchläuft das System irreversible Prozesse. Die Remanenzmagnetisierung und die Koerzitivfeldstärke sind ebenfalls eingezeichnet. Der Abschnitt der Kurve aus dem Ursprung ist die sogenannte Neukurve. Sie entspricht dem Verhalten des Systems, wenn es vor dem Anlegen des Feldes unmangetisiert war. Es wird angenommen, dass die Entmagnetisierung jedes Teilchen entweder parallel oder antiparallel zur leichten Achse lässt. welches entspricht.
Alternativ kann die Sprunglösung auch dadurch dargestellt werden, dass das vektorielle Feld in seine (zur leichten Achse) senkrechten und parallelen Komponenten und zerlegt wird. Dann gilt nämlich Eine Darstellung in einem kartesischen Koordinatensystem mit beiden Komponenten auf den zwei Achsen wird als Stoner–Wohlfahrt-Asteroid bezeichnet. Hysteresekurven können daraus berechnet werden.
Vorhersagen für homogene, isotrope Systeme Hysterese rechts|mini|upright=1.4|Hysteresekurve für ein isotropes System aus gleichartigen Teilchen. Die Magnetisierung und das Magnetfeld sind wie oben normiert. Der Verlauf beginnt im Koordinatenursprung, doppelendige Pfeile zeigen reversible Prozesse, einfache Pfeile Irreversible.
Stoner und Wohlfarth berechneten die Hysteresekurven für ein isotropisches, aus zufällig orientierten, identischen Teilchen bestehendes System. Die Ergebnisse ihrer Arbeit sind in der Abbildung dargestellt. Für durchläuft das System irreversible Prozesse, sonst sind alle Änderungen reversibel. Die normalisierte Remanenzmagnetisierung und die normalisierte Koerzitivfeldstärke sind eingezeichnet. Die vom Koordinatenursprung ausgehende Kurve ist die sogenannte Neukurve. Diese stellt das Verhalten des Systems bei Magnetisierung aus einem anfänglich unmagnetsierten Zustand heraus dar. Dabei sind alle Teilchen im demagnetisierten Zustand mit einer gleichen Wahrscheinlichkeit entweder parallel oder antiparallel zur gewählten Magnetisierungsachse. Dieser Zustand ist deshalb der Mittelwert aus dem oberen und dem unteren Teil der Kurve.
Isotherme Remanenz links|mini|upright=1.4|Drei isotherme Remanenzregime für ein isotropes System aus zufällig ausgerichteten, identischen Teilchen. bezeichnen die isotherme Remanenzmagnetisierung, alternierende Felddemagnetisierung und Gleichfeld-Demagnetisierungsremanenz. Die Abbildung hier zeigt einige berechnete Remanenzmagnetisierungen für zufällig orientierte, identische Teilchen. Die isotherme Remanenzmagnetisierung (IRM) wird dadruch erlangt, dass die Probe nach der Entmagnetisierung einem Magnetfeld ausgesetzt wird. ist die normierte Remanenz in Abhängigkeit eines (normierten) Magnetfeldes. Bis zu ändert sich das System nicht, weil alle Sprungfelder größer als dieser Wert sind. Alle Änderungen der Magnetisierung bis dahin sind reversibel. Bei geht das System in Sättigung, alle Sprungfelder sind erreicht.
Andere Arten von magnetischen Remanenzen involvieren die isotherme Sättigungsremanenz (SIRM) und beginnen normiert bei 1. Bis 0,5 passiert nichts, darüber sinkt der Wert bis er bei der Remanenzkoerzitivfeldstärke auf 0 geht.
+Hystereseparameter für identische, zufällig orientierte TeilchenParameterVorhersage
Die obige Tabelle listet einige Parameter des Hystereseverhaltens auf, die aus dem Stoner-Wohlfahrt-Modell abgeleitet werden. Die Größen in den obigen Gleichungen werden durch Messwerte normiert. Der Parameter beschreibt die Remanenzkoerzitivitätsfeldstärke und ist die anfängliche magnetische Suszeptibilität (wenn das System entmagnetisiert ist).
Verallgemeinerungen Die obigen Betrachtungen gelten für identische Teilchen. In einer realen Probe ist dies nicht wahr: Der Parameter ist abhängig von der Wahl des Teilchens. Dies ändert das Verhältnis von zu nicht, allerdings ändert sich die Form der Schleife. Ein geläufiger Parameter zur Charakterisierung deren Form ist das Verhältnis , welches für identische Teilchen 1,09 ist und sonst größer wird. Graphen von gegen sind geläufig in der Untersuchung der magnetischen Eigenschaften von Gesteinen als Maßstab für den Domänenzustand (einzelne Domäne oder mehrere) von magnetischen Mineralien.
Einzelnachweise
Kategorie:Festkörperphysik Kategorie:Magnetismus