Ein étaler Morphismus (von , "ausgebreitet" oder "stillstehend") ist ein Begriff aus der algebraischen Geometrie und beschreibt einen Morphismus von Schemata, der lokal von endlicher Präsentation und formal étale ist. Étale Morphismen sind die algebraischen Gegenstücke der lokalen Homöomorphismen. Sie bilden die Grundlage der étalen Topologie, einer Grothendieck-Topologie, die die Topologie der offenen Überdeckungen auf Schemata überträgt und eine algebraische Theorie von Überlagerungen ermöglicht.
Ein Morphismus von Schemata ist lokal von endlicher Präsentation, wenn er sich in geeigneten affinen Umgebungen durch einen Ringhomomorphismus darstellen lässt, wobei die -Algebra durch endlich viele Erzeuger und endlich viele Relationen beschrieben werden kann.
Ein Morphismus von Schemata heißt formal étale, wenn für jedes affine Schema und jedend Morphismus und jede durch ein nilpotentes Ideal definierte infinitesimale Verdickung jeder Morphismus über eindeutig zu einem Morphismus über fortgesetzt werden kann. Dies ist äquivalent dazu, dass für alle solchen und die natürliche Abbildung
eine Bijektion ist.
Der Begriff wurde von Alexander Grothendieck eingeführt.
Vorbereitung Sei ein Schema und ein Ideal. Das Ideal definiert ein abgeschlossenes Unterschema mit der Strukturgarbe . Wenn nilpotent ist, das heißt, es existiert ein mit , dann nennt man eine infinitesimale Verdickung.
Ringhomomorphismen von endlicher Präsentation Ein Ringhomomorphismus heißt von endlicher Präsentation, wenn ein Isomorphismus
für die -Algebra gibt, wobei endlich viele Variablen und endlich viele Relationen sind. Die Algebra besitzt also endlich viele Erzeuger und deren Beziehungen können durch endlich viele Relationen beschrieben werden.
Morphismen von lokal von endlicher Präsentation Sei ein Morphismus von Schemata. Dann nennt man von endlicher Präsentation in einem Punkt , so dass eine affine offene Umgebung mit und eine affine offene Umgebung mit gibt, so dass der induzierte Ringhomomorphismus von endlicher Präsentation ist.
Ein Morphismus heißt lokal von endlicher Präsentation, wenn er in jedem Punkt von endlicher Präsentation ist.
Zur Vollständigkeit aber nicht direkt relevant für die Definition des étalen Morphismus: Ein Morphismus heißt von endlicher Präsentation, wenn er lokal von endlicher Präsentation ist und zusätzlich quasikompakt sowie quasisepariert ist.
Erklärung der Definition Man betrachtet einen Morphismus von Schemata und wählte zwei affine offene Umgebungen (das heißt affine Schemata) und wobei und die zugehörigen Ringe der affinen Schemata und sind.
Der Morphismus ist also lokal von endlicher Präsentation, wenn zu jedem Punkt solche affine offene Umgebungen existieren mit
und die -Algebra durch endlich viele Erzeuger und endlich viele Relationen beschrieben werden kann.
Formal étaler Morphismus Sei ein Morphismus von Schemata. Man nennt formal étale, wenn für jedes affine Schema jedes abgeschlossene Unterschema , welches durch ein nilpotentes Ideal definiert ist, und jeden Morphismus die natürliche Abbildung
bijektiv ist.
Man nennt auch formal étale über .
Erklärung der Definition Man betrachtet einen Morphismus von Schemata . Weiter betrachtet man ein affines Schema mit den Morphismen ein nilpotentes Ideal ein abgeschlossenes Unterschema , welches durch das Ideal definiert wird, das heisst für die Strukturgarbe gilt .
Ein Element von ist ein Morphismus , der mit den Morphismen nach verträglich ist. Die natürliche Abbildung schränkt einen Morphismus auf das Unterschema ein.
Der Morphismus ist formal étale, wenn diese Abbildung für jedes solche und bijektiv ist. Das bedeutet, dass jeder Morphismus eindeutig zu einem Morphismus fortgesetzt werden kann.
Étaler Morphismus Sei ein Morphismus von Schemata. Man bezeichnet als étale, wenn lokal von endlicher Präsentation und formal étale ist.
Äquivalente Charakterisierungen Ein Morphismus ist genau dann étale, wenn er flach, unverzweigt und lokal von endlicher Präsentation ist.
Zusammenhang mit Flachheit und Unverzweigtheit Für einen Morphismus , der lokal von endlicher Präsentation ist, gilt
Umgekehrt gilt
Damit erhält man für Morphismen, die von lokal von endlicher Präsentation sind, die Äquivalenz
Beispiele Sei ein Ring und ein Polynom. Sei so gewählt, dass in der Lokalisierung das Bild der Ableitung eine Einheit ist. Dann ist der Ringhomomorphismus
ein étaler Ringhomomorphismus. Ein solcher Morphismus heißt standard étal.
Einzelnachweise
Kategorie:Algebraische Geometrie