Das Spaltungsprinzip ist im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie ein Resultat zur Auftrennung von reellen und komplexen Vektorbündeln in wesentlich einfacher zu verstehende Whitney-Summen von reellen und komplexen Geradenbündeln unter Verwendung der Konstruktion des zurückgezogenen Vektorbündels. Insbesondere bei der Berechnung von charakteristischen Klassen, vor allem den Stiefel-Whitney-Klassen, Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen, ist das Spaltungsprinzip hilfreich aufgrund teils enormer Vereinfachung der Berechnungen. Ein mit dem Spaltungsprinzip verwandtes Resultat ist der Satz von Birkhoff-Grothendieck, gemäß dem holomorphe Vektorbündel über der Riemannschen Zahlenkugel sogar ohne Rückzug in holomorphe Geradenbündel zerfallen.
Reelles Spaltungsprinzip
Aussage Das reelle Spaltungsprinzip beschreibt reelle Vektorbündel (mit Rang ) über parakompakten Räumen und singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in . Es besagt, dass es stets einen topologischen Raum , verwendet werden kann dabei das reelle Flaggenbündel , sowie eine stetige Abbildung gibt, sodass die induzierte Abbildung auf den -Kohomologieringen injektiv ist und der Rückzug in eine reelle Whitney-Summe aus reellen Linienbündeln zerfällt:Hatcher 17, S. 63
Anwendung Angewendet wird das reelle Spaltungsprinzip bei der Berechnung von Stiefel-Whitney Klassen. Da die totale Stiefel-Whitney-Klasse mit Rückzügen kommutiert,Hatcher 17, Thrm. 3.1 Whitney-Summen in Cup-Produkte umwandeltMilnor & Stasheff 74, S. 93 und für reelle Linienbündel nur die erste Stiefel-Whitney-Klasse nicht automatisch trivial ist, folgt aus dem reellen Spaltungsprinzip:
Auf der rechten Seite kann der Ausdruck nun ausmultipliziert werden und liegt laut der linken Seite im Bild von , welches aus dem Endergebnis aufgrund von dessen Injektivität entfernt werden kann. Übrig bleibt ein Ausdruck für die gesuchte totale Stiefel-Whitney-Klasse .
Komplexes Spaltungsprinzip
Aussage Das komplexe Spaltungsprinzip beschreibt komplexe Vektorbündel (mit Rang ) über parakompakten Räumen und singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in . Es besagt, dass es stets einen topologischen Raum , verwendet werden kann dabei das komplexe Flaggenbündel , sowie eine stetige Abbildung gibt, sodass die induzierte Abbildung auf den -Kohomologieringen injektiv ist und der Rückzug in eine komplexe Whitney-Summe aus reellen Linienbündeln zerfällt:
Anwendung Angewendet wird das komplexe Spaltungsprinzip bei der Berechnung von Chern-Klassen. Da die totale Chern-Klasse mit Rückzügen kommutiert,Hatcher 17, Thrm. 3.2 Whitney-Summen in Cup-Produkte umwandelt und für komplexe Linienbündel nur die erste Chern-Klasse nicht automatisch trivial ist, folgt aus dem komplexen Spaltungsprinzip:Milnor & Stasheff 1974, S. 189
Auf der rechten Seite kann der Ausdruck nun ausmultipliziert werden und liegt laut der linken Seite im Bild von , welches aus dem Endergebnis aufgrund von dessen Injektivität entfernt werden kann. Übrig bleibt ein Ausdruck für die totale Chern-Klasse . Die komplexen Linienbündel oder äquivalent ihre ersten Chern-Klassen werden auch Chern-Wurzeln genannt.
Komplexifiziertes Spaltungsprinzip
Aussage Das komplexifizierte Spaltungsprinzip beschreibt die Komplexifizierung von reellen Vektorbündeln (mit geradem Rang ) über parakompakten Räumen und singuläre Kohomologie mit Koeffizienten in . Es besagt, dass es stets einen topologischen Raum sowie eine stetige Abbildung gibt, sodass die induzierte Abbildung auf den -Kohomologieringen injektiv ist und der Rückzug in eine komplexe Whitney-Summe aus reellen komplexen Linienbündeln und deren konjugierten komplexen Linienbündeln zerfällt:
Anwendung Angewendet wird es bei der Berechnung von Pontrjagin-Klassen, nämlich genau den geraden Chern-Klassen von komplexifierten reellen Vektorbündeln. Da sich dadurch die obigen Eigenschaften der Chern-Klassen direkt auf die Pontrjagin-Klassen übertragen, folgt aus dem komplexifizierten Spaltungsprinzip:
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Differentialgeometrie