mini|250x250px|Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt.
Der Seitenhalbierendensatz ist ein Satz der euklidischen Geometrie. Er besagt, dass sich die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks in einem einzigen Punkt schneiden, welcher jede Seitenhalbierende im Verhältnis teilt, von den Ecken aus gemessen.
Aussage In jedem Dreieck schneiden sich die drei Seitenhalbierenden in einem gemeinsamen Punkt , dem sogenannten Schwerpunkt des Dreiecks. Dabei gilt:
wobei die Mittelpunkte der jeweiligen gegenüberliegenden Seiten des Dreiecks sind.
Beweis
Betrachten wir ein Dreieck . Es sei der Mittelpunkt der Seite , der Mittelpunkt der Seite und der Mittelpunkt der Seite .
Es sei der Schnittpunkt der beiden Seitenhalbierenden und .
Die Strecke ist die Mittellinie des Dreiecks , die parallel zur Seite verläuft. Nach dem Strahlensatz (oder den Eigenschaften der Mittellinie) gilt:
und
Betrachten wir nun die Dreiecke und : Die Winkel und sind Scheitelwinkel und daher gleich groß. Die Winkel und sind Wechselwinkel an parallel verlaufenden Geraden und daher ebenfalls gleich groß.
Daraus folgt nach dem Ähnlichkeitssatz W:W:W, dass die Dreiecke und zueinander ähnlich sind ().
Aus dieser Ähnlichkeit ergibt sich das Verhältnis der entsprechenden Seiten:
Das bedeutet, dass der Schnittpunkt die beiden Seitenhalbierenden und jeweils im Verhältnis teilt.
Wenn man dieses Verfahren analog auf die Seitenhalbierende und eine der beiden anderen (z. B. ) anwendet, stellt man fest, dass ihr Schnittpunkt die Gerade ebenfalls im Verhältnis teilen muss. Da es auf einer Strecke nur einen Punkt geben kann, der sie in diesem Verhältnis teilt, muss dieser Schnittpunkt mit identisch sein.
Somit schneiden sich alle drei Seitenhalbierenden in einem einzigen Punkt , welcher jede von ihnen im Verhältnis teilt.
Analoge Aussage im Dreidimensionalen In einem Tetraeder bezeichnet man eine Strecke, die einen Eckpunkt mit dem Schwerpunkt der dem Eckpunkt gegenüberliegenden Dreiecksfläche verbindet, als Median des Tetraeders. Die vier Mediane einen Tetraeders schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt des Tetraeders. Dieser teilt die Mediane im Verhältnis (Satz von Commandino).Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: A Mathematical Space Odyssey: Solid Geometry in the 21st Century. The Mathematical Association of America, 2015, ISBN 978-0-88385-358-0, S. 97–98
Einzelnachweise
Kategorie:Euklidische Geometrie Kategorie:Satz (Geometrie)