Der Satz von Dodds-Fremlin ist ein Resultat aus der Operatorentheorie, das eine Bedingung liefert, wann ein positiver Operator zwischen Banachverbänden (das sind Banachräume, die zugleich eine verträgliche Verbandordnung besitzen) kompakt ist. Der Satz sagt, dass ein positiver Operator kompakt ist, wenn er von einem kompakten Operator dominiert wird, das heißt , und sowohl die Norm des topologischen Dualraums als auch die Norm von ordnungstetig sind. Ordnungstetig bedeutet dabei, dass für jedes monoton gegen 0 fallende Netz auch Normkonvergenz vorliegt. Dabei beziehen sich alle Normen auf die jeweiligen Banachnormen der Räume und die damit induzierten Normtopologien.
Die Aussage wurde 1979 von Peter G. Dodds und David H. Fremlin gezeigt.
Grundbegriffe Ein Operator zwischen zwei Vektorräumen ist positiv, wenn für alle gilt.
Ein Banachverband ist ein Banachraum , der mit einer Verbandordnung versehen ist, so dass wann immer auch folgt. Eine solche Norm nennt man Verbandsnorm. In anderen Worten, ein vollständiger Riesz-Raum bezüglich der Verbandsnorm ist ein Banachverband.
Eine Verbandsnorm heißt ordnungstetig, wenn für jedes monoton gegen 0 fallende Netz (das heißt ist monoton fallend und ) Normkonvergenz gegen 0 vorliegt, das heißt . Die Ordnungstetigkeit im Falle des topologischen Dualraums eines Banachraumes bezieht sich auf die Dualraumnorm.
Aussage Seien und Banachverbände, so dass sowohl die Norm des topologischen Dualraums als auch die Norm von ordnungstetig sind. Sei ein positiver Operator, das heißt für alle mit gilt
Falls ein kompakter Operator existiert mit , dann ist kompakt.
Die Gleichung ist punktweise zu verstehen, das heißt für alle mit .
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Dodds-Fremlin, Satz von