Der Szlenk-Index ist ein Begriff aus der Funktionalanalysis und bezeichnet eine ordinale Invariante von Banachräumen. Er misst die geometrische Komplexität der schwach-*-kompakten Struktur der Einheitskugel des Dualraums, indem er beschreibt, wie lange sich diese durch wiederholtes Entfernen lokal kleiner Teilmengen "ausdünnen" lässt.
Der Index spielt eine wichtige Rolle in der geometrischen Theorie von Banachräumen, insbesondere bei der Untersuchung isomorpher Strukturen und Klassifikationsprobleme. So lässt sich etwa die isomorphe Klassifikation separabler Räume der Form durch den Wert ihres Szlenk-Index vollständig beschreiben.
Der Szlenk-Index ist nach dem polnischen Mathematiker Wiesław Szlenk benannt, der ihn einführte, um zu zeigen, dass es keinen separablen reflexiven Banachraum gibt, der universell für die Klasse aller separablen reflexiven Banachräume ist. Ein Banachraum heißt universell für eine Klasse , wenn jedes Element aus isomorph zu einem abgeschlossenen Unterraum von ist.
Definition Sei ein separabler Banachraum, sein topologischer Dualraum, ist die erste unendliche, aber noch abzählbare Ordinalzahl und die erste überabzählbare Ordinalzahl. Ausgangspunkt ist die Frage, ob die Einheitskugel des Dualraums bezüglich der schwach-*-Topologie nichtleere offene Teilmengen mit beliebig kleinem Durchmesser enthält. Das Verhalten dieser lokalen Struktur motiviert die Einführung des Szlenk-Index.
Sei eine nichtleere, schwach-*-kompakte Teilmenge. Für eine schwach-*-Umgebung von sei der Normdurchmesser von definiert durch . Sei die Einheitskugel des Dualraums
Szlenk-Ableitung Für ein definieren wir die Szlenk-Ableitung , dies ist der Operator, der aus einer Menge alle Punkte entfernt, für die es eine schwach-*-Umgebung gibt, in der Normdurchmesser höchstens hat:
Sei . Wir definieren rekursiv für jede abzählbare Ordinalzahl die Mengen wie folgt:
für alle und für jede Limesordinalzahl
Szlenk-Index Sei das Supremum der Ordinalzahlen , bei dem die Menge noch nicht leer ist:
Nun definieren wir die Komplexität über alle durch
Der Szlenk-Index eines Banachraums ist definiert als die Komplexität der Einheitskugel des Dualraums
Bemerkungen Die Definition in der Originalarbeit von Szlenk ist leicht anders, liefert jedoch dieselbe Ordinalzahl.
Beispiele genau dann, wenn endlichdimensional ist. für .
Eigenschaften Szlenk zeigte, dass der Szlenk-Index eines Banachraums genau dann abzählbar ist, wenn der Dualraum separabel ist. Der Index ist monoton bezüglich Unterräumen, d. h. für gilt . Für jede abzählbare Ordinalzahl existiert ein separabler reflexiver Banachraum mit Szlenk-Index .
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis