Der Satz von Kwapień-Maurey aus dem mathematischen Teilgebiet der Funktionalanalysis befasst sich mit der Faktorisierung von Banachraum-Operatoren über einen Hilbertraum, er ist nach Stanisław Kwapień und Bernard Maurey benannt.
Formulierung des Satzes Mittels des Skalarproduktes kann man zeigen, dass Hilberträume als Banachräume den Typ und Kotyp 2 haben. 1972 bewies Stanisław Kwapień – in anderer Formulierung, ohne die damals noch nicht etablierten Begriffe Typ und Kotyp zu verwenden – die Umkehrung zu dieser Aussage, so dass folgende Äquivalenz gilt:
Ein Banachraum ist genau dann isomorph zu einem Hilbertraum, wenn er Typ und Kotyp 2 hat.
Bernard Maurey entdeckte dann, dass man aus den Beweisideen sogar folgenden Faktorisierungssatz erhalten kann, der den Namen beider Mathematiker trägt.
Satz von Kwapień-Maurey: Sei ein stetiger, linearer Operator zwischen Banachräumen und . Hat Typ 2 und Kotyp 2, so faktorisiert über einen Hilbertraum.
Obige Faktorisierungsaussage bedeutet, dass es einen Hilbertraum und stetige lineare Operatoren und gibt, so dass . Diese Aussage lässt sich weiter zu folgendem Fortsetzungssatz ausbauen:
Seien und Banachräume, ein abgeschlossener Unterraum von und ein stetiger, linearer Operator. Hat Typ 2 und Kotyp 2, so gibt es einen Hilbertraum und stetige lineare Operatoren und , so dass
Dabei bezeichnet die Einschränkung des Operators auf . Insbesondere gibt es in der Situation des Satzes überhaupt eine Fortsetzung, was schon ohne die zusätzliche Faktorierungsaussage von Interesse ist.
Bemerkungen Die erstgenannte Charakterisierung von Banachräumen, die isomorph zu einem Hilbertraum sind, folgt leicht aus der Faktorisierungsaussage. Da Hilberträume Typ und Kotyp 2 haben, muss man umgekehrt von einem Banachraum mit Typ und Kotyp 2 die Isomorphie zu einem Hilbertraum zeigen. Aber aus einer Faktorisierung
folgt, dass , das heißt ist isomorph zum Hilbertraum ist .
Aus der Fortsetzungsaussage folgt sofort die Faktorisierungsaussage, indem man wählt. Man kann sogar eine Normabschätzung für die Fortsetzung von angeben. Bezeichnet die optimale Konstante für die Typ-2-Eigenschaft von und die optimale Konstante für die Kotyp-2-Eigenschaft von , so kann man und so wählen, dass .
Aus der Fortsetzungsaussage kann man dann eine quantitative Aussage darüber treffen, wie nahe ein Banachraum mit Typ und Kotyp 2 einem Hilbertraum ist: Hat der Banachraum Typ und Kotyp 2, so gibt es einen Hilbertraum mit Banach-Mazur-Abstand von .
Hat der Banachraum Typ 2 und ist ein Unterraum, der zu einem Hilbertraum isomorph ist, so lässt sich nach dem Fortsetzungssatz die identische Abbildung zu einem stetigen, linearen Operator fortsetzen, das heißt jeder solche Unterraum ist stetig projizierbar.
Einzelnachweise
Kategorie:Funktionalanalysis Kwapien-Maurey, Satz von