Das 16-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Beim 16-Zell sind dies 16 regelmäßige Tetraeder. Das 16-Zell besteht außerdem aus 32 Flächen (gleichseitigen Dreiecken), 24 Kanten und 8 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 16-Zells ist . Es sagt aus, dass das 16-Zell aus Tetraedern aufgebaut ist, von denen jeweils 4 an einer Kante aneinander grenzen. Die Eckfigur ist ein Oktaeder , was bedeutet, dass an einer Ecke 8 Tetraeder aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Tetraeder aneinander. Das duale Polytop des 16-Zells ist das 8-Zell.
Geschichte Das 16-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt. In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt, unter anderem von Washington Irving Stringham, G. Forchhammer, Reinhold Hoppe, Karl Rudel, Victor Schlegel, Anton Puchta, Otto Biermann, H. W. Curjel und Thorold Gosset. Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme. Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt. Ludwig Schläfli bezeichnete das 16-Zell als Hekkaidekaschem, während Washington Irving Stringham es Hexadekahedroid oder (16)-hedroid nannte. Die heute übliche Bezeichnung Sechzehnzell wurde von Victor Schlegel eingeführt.
Konstruktionen des 16-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht. Hierbei bezeichnet die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet , wobei die Anzahl der Zellen bezeichnet. Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen. Für das 16-Zell sind diese gegeben durch . Um die Existenz des 16-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 16-Zells beschrieben.
Konstruktion über kartesische Koordinaten
Ludwig Schläfli beweist die Existenz des 16-Zells durch Angabe seiner kartesischen Koordinaten und durch die Angabe der Tetraeder, die die Zellen bilden. Er zeigt außerdem, dass die Eckfigur ein Oktaeder ist. Die Ecken des 16-Zells sind gegeben durch: alle Permutationen von (8 Punkte). Die Koordinaten der Ecken liegen auf einer 3-Sphäre vom Radius 1. Die Kanten der Tetraeder haben damit eine Länge von .
Insgesamt hat das 16-Zell daher 8 Ecken, 24 Kanten, 32 Dreiecke und 16 Tetraeder.
Aus der Koordinatendarstellung ergibt sich, dass die Ecken des 16-Zells entlang einer Diagonale zwischen zwei Ecken drei Schichten bilden, die 1, 6, und 1 Ecken enthalten. Hieraus folgt, dass die Zellen entlang der Diagonalen zwei Schichten mit jeweils 8 Tetraedern bilden.
Visualisierung der Konstruktion des 16-Zells
thumbtime=4|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 16-Zells in einer eckenzentrierten Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 16-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung Das nebenstehende Video visualisiert den Aufbau des 16-Zells aus den oben beschriebenen zwei Schichten von Tetraedern. Dabei werden die Tetraeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum, also in eine Hyperebene, projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt . Die Projektion erfolgt in die -Hyperebene.
Im ersten Teil des Videos werden die Tetraeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 16-Zells darzustellen. Die beiden Schichten werden nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherige Schicht angrenzt, werden die Tetraeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Tetraeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 16-Zells zu visualisieren.
Eine Besonderheit ist bei der zweiten Schicht zu beachten. Die acht Tetraeder dieser Schicht besitzen jeweils einen Punkt im Projektionszentrum. Daher würden diese Punkte auf einen unendlich fernen Punkt projiziert. Um diese Unbestimmtheit zu vermeiden, werden sie stattdessen auf den Nullpunkt in der -Hyperebene projiziert. Dies hat zur Folge, dass die zweite Schicht scheinbar die erste Schicht durchdringt. Dies ist aber nur ein Artefakt der Projektion. Im vierdimensionalen Raum ist die zweite Schicht disjunkt zur ersten.
Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein dreidimensionales Modell des 16-Zells, das dem Zustand nach Einblendung der beiden Schichten von Tetraedern entspricht. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden.
Im Anschluss werden die Tetraeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Tetraeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Tetraeder deren Anzahl dargestellt.
Die von Hand gezeichnete Abbildung 5 in der Arbeit von Stringham entspricht sinngemäß dem Zustand nach der Einblendung von acht Tetraedern: beide visualisieren, dass an einer Ecke des 16-Zells acht Tetraeder aneinander grenzen.
Koordinatenstellungen des 16-Zells
mini|Orthogonalprojektion des 16-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 16-Zells; Blickrichtung entlang der Kantendiagonalen des Modells mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 16-Zells; Blickrichtung entlang der Flächendiagonalen des Modells In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet. Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle. Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt. Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine eckenzentrierte Zentralprojektion des 16-Zells.
Die erste Abbildung in diesem Abschnitt zeigt eine Orthogonalprojektion des 16-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung. Die projizierten Ecken werden durch farbige Kreise visualisiert. In dieser Projektion werden in einem Fall mehrere Ecken auf einen Punkt projiziert. Auf die roten Ecken werden jeweils eine Ecke und auf die orangefarbene Ecke vier Ecken des 16-Zells projiziert. Aus der Abbildung sind die oben beschriebenen drei Schichten von Ecken klar erkennbar. Die Abbildung visualisiert außerdem die projizierten Kanten des 16-Zells. Auch hier werden oft mehrere Kanten auf dieselbe Kante projiziert, was aber nicht durch Farben kodiert wird. Die Flächen und Zellen des 16-Zells werden in dieser Abbildung nicht dargestellt.
Die zweite und dritte Abbildung in diesem Abschnitt zeigen ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 16-Zells in eckenzentrierter Koordinatenstellung in den dreidimensionalen Raum. Aufgrund der Orthogonalprojektion werden zwei der acht Ecken auf dieselbe Ecke des Modells projiziert, so dass dieses sieben Ecken hat. Die Orthogonalprojektion in eckenzentrierter Koordinatenstellung ist identisch zur Zentralprojektion; sie unterscheidet sich lediglich durch eine Skalierung. Daher ist das im Abschnitt Visualisierung der Konstruktion des 16-Zells abgebildete dreidimensionale Modell gleichzeitig auch ein Modell der Orthogonalprojektion des 16-Zells.
Die im vorherigen Abschnitt angegebenen Koordinaten des 16-Zells sind eckenzentriert. Sie lassen sich mit folgender Drehmatrix in eine kantenzentrierte Koordinatenstellung transformieren:
Eine flächenzentrierte Koordinatenstellung wird erreicht über die Drehspiegelungsmatrix
Eine zellenzentrierte Koordinatenstellung ergibt sich durch die Drehspiegelungsmatrix
Damit ergeben sich die zellenzentrierten Koordinaten des 16-Zells als: mit einer geraden Anzahl von Minuszeichen (8 Punkte).
Visualisierung der Konstruktion des 16-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung
thumbtime=30|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 16-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 16-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung: ein Schlegeldiagramm des 16-Zells Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 16-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung. Es ergeben sich fünf Schichten von Tetraedern mit der Schichtung 1, 4, 6, 4, 1. Es wird eine Zentralprojektion vom Punkt verwendet. Die Projektion erfolgt in die -Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.