Das 120-Zell ist eines der sechs konvexen regulären vierdimensionalen Polytope (der Analoga der platonischen Körper im vierdimensionalen euklidischen Raum). Konvexe reguläre 4-Polytope werden von platonischen Körpern begrenzt, die in diesem Kontext Zellen genannt werden. Beim 120-Zell sind dies 120 regelmäßige Dodekaeder. Das 120-Zell besteht außerdem aus 720 Flächen (regelmäßigen Fünfecken), 1200 Kanten und 600 Ecken. Das Schläfli-Symbol des 120-Zells ist . Es sagt aus, dass das 120-Zell aus Dodekaedern aufgebaut ist, von denen jeweils 3 an einer Kante aneinander grenzen. Die Eckfigur ist ein regelmäßiges Tetraeder , was bedeutet, dass an einer Ecke vier Dodekaeder aneinander grenzen. Außerdem grenzen an einer Fläche zwei Dodekaeder aneinander. Das duale Polytop des 120-Zells ist das 600-Zell.
Geschichte Das 120-Zell wurde von Ludwig Schläfli entdeckt und in seiner in den Jahren 1850–1852 entstandenen Arbeit Theorie der vielfachen Kontinuität vorgestellt. In ihr beschrieb er als erster alle konvexen regulären 4-Polytope, alle Parkettierungen des vierdimensionalen euklidischen Raums, vier der zehn sternförmigen regulären 4-Polytope und alle regulären höherdimensionalen Polytope und Parkettierungen.
Da Schläflis Arbeit erst 1901, sechs Jahre nach seinem Tod, veröffentlicht wurde, wurden die regulären Polytope in den Jahren 1880–1900 mehrfach unabhängig voneinander wiederentdeckt, unter anderem von Washington Irving Stringham, G. Forchhammer, Reinhold Hoppe, Karl Rudel, Victor Schlegel, Anton Puchta, Otto Biermann, H. W. Curjel und Thorold Gosset. Außerdem entdeckte Edmund Hess 1885 alle zehn sternförmigen regulären 4-Polytope.
In der Anfangszeit der Forschung zu den regulären Polytopen gab es noch keine einheitliche Terminologie. Beispielsweise bezeichnete Ludwig Schläfli n-dimensionale Polytope als Polyscheme. Die heute gebräuchliche Bezeichnung Polytop wurde von Reinhold Hoppe eingeführt. Ludwig Schläfli bezeichnete das 120-Zell als Hekatonkaieikosaschem, während Washington Irving Stringham es Hekatonikosihedroid oder (120)-hedroid nannte. Die heute übliche Bezeichnung Hundertzwanzigzell wurde von Victor Schlegel eingeführt.
Konstruktionen des 120-Zells
Der Beweis der Existenz der platonischen Körper (der regulären Polyeder im dreidimensionalen Raum) kann geführt werden, ohne sie explizit konstruieren zu müssen. Dazu müssen lediglich die fünf möglichen Anordnungen von regulären Polygonen um eine Ecke im dreidimensionalen Raum bestimmt werden. Hieraus und aus dem Eulerschen Polyedersatz kann unmittelbar bestimmt werden, aus wie vielen Ecken, Kanten und Flächen der jeweilige platonische Körper besteht. Hierbei bezeichnet die Anzahl der Ecken, die Anzahl der Kanten und die Anzahl der Flächen des Polyeders.
Die vierdimensionale Version des Eulerschen Polyedersatzes lautet , wobei die Anzahl der Zellen bezeichnet. Da dies eine homogene Gleichung ist, lassen sich aus der Konstruktion der Anordnung von Polyedern um eine Ecke im vierdimensionalen Raum nicht die Anzahl der Zellen, Flächen, Kanten und Ecken eines 4-Polytops herleiten, sondern lediglich die Verhältnisse dieser Zahlen. Für das 120-Zell sind diese gegeben durch . Um die Existenz des 120-Zells zu beweisen, muss es daher explizit konstruiert werden.
Im Folgenden werden verschiedene Konstruktionen des 120-Zells beschrieben.
Konstruktion als duales Polytop des 600-Zells
Das 120-Zell kann als duales Polytop des 600-Zells konstruiert werden. Dabei sind die Ecken des dualen Polytops durch die Mittelpunkte der Zellen des Ausgangspolytops gegeben. Die Ecken des 120-Zells sind daher durch die Mittelpunkte der Tetraeder des 600-Zells bestimmt. Damit ist nachgewiesen, dass das 120-Zell aus 600 Ecken, 1200 Kanten, 720 Flächen und 120 Zellen besteht.
Zur Berechnung der Mittelpunkte der Tetraeder des 600-Zells können beispielsweise dessen Konstruktionen über vierdimensionale Kugelkoordinaten oder über kartesische Koordinaten verwendet werden. Ludwig Schläfli wies die Existenz des 120-Zells auf diesem Weg nach, gab aber keine explizite Koordinatendarstellung an. Pieter Schoute verwendete dieselbe Konstruktion und gab als erster explizite Koordinaten des 120-Zells an.
Die aus den kartesische Koordinaten des 600-Zells abgeleiteten Koordinaten des 120-Zells lauten in moderner Schreibweise: alle Permutationen von (24 Punkte), alle Permutationen von (64 Punkte), alle Permutationen von (64 Punkte), alle Permutationen von (64 Punkte), alle geraden Permutationen von (96 Punkte), alle geraden Permutationen von (96 Punkte) und alle geraden Permutationen von (192 Punkte). Hierbei bezeichnet den goldenen Schnitt. Die Koordinaten der Ecken wurden so normiert, dass sie auf einer 3-Sphäre vom Radius 1 liegen. Die Kanten der Dodekaeder haben damit eine Länge von .
Aufgrund der Dualität des 120-Zells und des 600-Zells lassen sich bestimmte Eigenschaften der Konstruktion des 600-Zells auf das 120-Zell übertragen. Beispielsweise bilden die Ecken des 600-Zells in dessen Konstruktionen über vierdimensionale Kugelkoordinaten und über kartesische Koordinaten neun Schichten entlang einer Diagonalen zwischen gegenüberliegenden Ecken. Dual dazu bilden die Zellen (Dodekaeder) des 120-Zells neun Schichten entlang einer Diagonalen zwischen gegenüberliegenden Zellenmittelpunkten. Die Schichtung der Dodekaeder ist 1, 12, 20, 12, 30, 12, 20, 12, 1.
Visualisierung der Konstruktion des 120-Zells
thumbtime=30|mini|Visualisierung des schichtenweisen Aufbaus des 120-Zells in einer zellenzentrierten Koordinatenstellung mini|Dreidimensionales Modell einer Zentralprojektion eines 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung: ein Schlegeldiagramm des 120-Zells Das nebenstehende Video zeigt die Konstruktion des 120-Zells aus den oben beschriebenen neun Schichten von Dodekaedern. Dabei werden die Dodekaeder vom vierdimensionalen Raum mittels einer vierdimensionalen Version der Zentralprojektion in den dreidimensionalen Raum projiziert. Das Projektionszentrum liegt dabei im Punkt . Die Projektion erfolgt in die -Hyperebene. Hierdurch ergibt sich eine Projektion, wie sie bei einem Schlegeldiagramm verwendet wird.
Im ersten Teil des Videos werden die Dodekaeder der einzelnen Schichten in denselben Farben und transparent visualisiert, um den inneren Aufbau des 120-Zells darzustellen. Jede Schicht wird nacheinander eingeblendet. Um zu zeigen, wie eine Schicht an die vorherigen Schichten angrenzt, werden die Dodekaeder nicht direkt in ihrer eigentlichen Lage eingeblendet, sondern eine bestimmte Distanz senkrecht über ihrer eigentlichen Position. Sie bewegen sich dann auf geradem Weg zu ihrer eigentlichen Position. Nachdem sie diese Position erreicht haben, werden alle bisher eingeblendeten Dodekaeder rotiert, um den inneren Aufbau des bis zu diesem Zeitpunkt konstruierten Teils des 120-Zells zu visualisieren. Während der gesamten Visualisierung werden die bisher eingeblendeten Schichten annähernd bildfüllend dargestellt. Um Platz für die nächste Schicht zu schaffen, werden die bisher eingeblendeten Schichten während der Rotation entsprechend verkleinert.
Eine Besonderheit ergibt sich beim letzten Dodekaeder. Da dieses in der Projektion, wie bei einem Schlegeldiagramm üblich, denselben Raum einnimmt, wie die 119 zuvor eingeblendeten Dodekaeder, wird es größer eingeblendet und schrumpft dann auf seine eigentliche Größe. Im vierdimensionalen Raum ist dieses Dodekaeder disjunkt zu allen übrigen.
Die Abbildung am Anfang dieses Artikels entspricht der Darstellung des 120-Zells nach Einblendung aller neun Schichten, wobei nur die Ecken und Kanten visualisiert werden. Die zweite Abbildung in diesem Abschnitt zeigt ein entsprechendes dreidimensionales Modell des 120-Zells. Das Modell kann im Medienbetrachter interaktiv gedreht, vergrößert, verkleinert und bewegt werden. Sowohl die Abbildung am Anfang dieses Artikels als auch das dreidimensionale Modell stellen ein Schlegeldiagramm des 120-Zells dar.
Im Anschluss werden die Dodekaeder undurchsichtig dargestellt und die Schichten werden in umgekehrter Reihenfolge wieder entfernt. Während des gesamten Videos werden in der linken unteren Ecke in schwarz die Anzahl der bisher eingeblendeten Dodekaeder und in der Farbe der aktuell hinzukommenden oder entfernten Dodekaeder deren Anzahl dargestellt.
Der erste Teil des Videos visualisiert auch die von Stringham angegebene Konstruktion des 120-Zells. Die von Hand gezeichneten Abbildungen 18–21 in seiner Arbeit entsprechen dem Zustand nach der Einblendung von 13, 33, 45 und 75 Tetraedern. Die restlichen Schichten werden von Stringham nicht explizit konstruiert. Er gibt stattdessen an, dass ein weiterer Komplex aus 45 Dodekaedern, der symmetrisch zum ersten Komplex aus 45 Dodekaedern ist, das 120-Zell vervollständigt.
Der zweite Teil des Videos visualisiert die von Victor Schlegel beschriebene Konstruktion des 120-Zells. Diese geht von einem 120-Zell mit einem daraus entfernten Dodekaeder aus, so dass die restlichen 119 Dodekaeder über die oben beschriebene Projektion in einem Schlegeldiagramm in den dreidimensionalen Raum transformiert werden können. Danach werden die Dodekaeder schichtenweise entfernt. Allerdings verwendet Schlegel eine andere Definition der Schichten als Schoute und Stringham: eine Schicht wird definiert als alle Dodekaeder, die über eine Fläche, Kante oder Ecke mit einem Fünfeck in der äußersten Schicht des Gebildes verbunden sind. Insgesamt ergeben sich fünf Schichten, die aus 12, 32, 42, 32 und 1 Dodekaedern bestehen. Die Schichten entsprechen daher im Video den Zeitpunkten, an denen 119, 107, 75, 33 und 1 Dodekaeder zu sehen sind.
Koordinatenstellungen des 120-Zells
mini|Orthogonalprojektion des 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung aus derselben Blickrichtung wie die Abbildung darüber mini|Ein mit dem Zometool-System konstruiertes Modell einer Orthogonalprojektion des 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung; Blickrichtung entlang einer fünfzähligen Symmetrieachse mini|Dreidimensionales Modell einer Orthogonalprojektion eines 120-Zells in zellenzentrierter Koordinatenstellung In jedem 4-Polytop existieren vier Arten von Hauptstrahlen: die Geraden vom Mittelpunkt des Polytops zu einer Ecke, zum Mittelpunkt einer Kante, zum Mittelpunkt einer Fläche und zum Mittelpunkt einer Zelle. Wenn ein 4-Polytop in einem euklidischen Koordinatensystem so ausgerichtet ist, dass die vier Koordinatenachsen mit gleichartigen Hauptstrahlen zusammenfallen, wird die Ausrichtung des Polytops als reguläre Koordinatenstellung bezeichnet. Jedes der regulären 4-Polytope außer dem 5-Zell lässt sich in eine reguläre Koordinatenstellung bringen. Die Koordinatenstellungen spielen beispielsweise bei der Berechnung von Projektionen und Schnitten von Polytopen eine wichtige Rolle. Im Folgenden werden die vier Koordinatenstellungen als eckenzentriert, kantenzentriert, flächenzentriert und zellenzentriert bezeichnet. Im Englischen werden sie häufig vertex-first, edge-first, face-first und cell-first genannt. Das Video im vorherigen Abschnitt zeigt eine zellenzentrierte Zentralprojektion des 120-Zells.