Vom Geist der Geometrie

mini|Blaise Pascal, Skulptur im Louvre Vom Geist der Geometrie ist eine erkenntnistheoretische Schrift des Mathematikers und Philosophen Blaise Pascal. Der Originaltitel lautet De l’Esprit géométrique et de l’Art de persuader, wörtlich übersetzt „Vom geometrischen Geist und der Kunst zu überzeugen“. Der oben angegebene Titel Vom Geist der Geometrie entstammt der deutschen Übersetzung von Wolfgang Struve, der 1948 eine zweisprachige Version des Textes veröffentlichte.

Das hier vorgestellte Buch gehört zur Liste der ZEIT-Bibliothek der 100 Sachbücher. Das Buch wurde in mehrere Sprachen übersetzt, neben dem maßgeblichen französischen Text und der genannten deutschen Übersetzung finden sich Übersetzungen ins Englische, Spanische, Italienische und weitere Sprachen. Die Abfassung dieser Abhandlung lässt sich nicht genau datieren, wird aber eindeutig Pascal zugeschrieben. Man setzt die Entstehung 1658 an, aber auch ein Zurückreichen bis 1654 ist denkbar. Das Originalmanuskript ist verloren, Abschriften wurden erstmals 1728 veröffentlicht.

Inhalt

Übersicht Die Schrift besteht aus zwei Abschnitten. Im ersten beschreibt Pascal das Wesen der mathematischen Begriffsbildung und Beweisführung (Geometrie wurde seinerzeit synonym für Mathematik verwendet), benennt Grenzen menschlicher Erkenntnisfähigkeit und analysiert die Struktur des Raumes. Im zweiten Abschnitt versucht er, daraus allgemeine Regeln für eine überzeugende Argumentation abzuleiten, wobei Präzision in der verwendeten Terminologie und Klarheit über die zu Grunde liegenden Prämissen im Vordergrund stehen. Pascal behandelt in dieser Schrift nicht die mathematische Beweisführung selbst. Das geschieht in anderen Abhandlungen, etwa im berühmten „Triangulus Arithmeticus“, wo das Prinzip der vollständigen Induktion begründet wird. Die Logik, wie man mittels einer mathematischen Beweisführung von Behauptung zu Behauptung gelangt, wird nicht näher analysiert. Die folgende Inhaltsangabe lehnt sich an die oben erwähnte Übersetzung von Wolfgang Struve an.

Vorrede Pascal identifiziert drei Hauptziele beim Studium der Wahrheit, erstens sie zu entdecken, zweitens eine gefundene Wahrheit zu beweisen und drittens sie vom Falschen zu unterscheiden. Dabei beschränkt sich die Abhandlung auf das zweite Ziel, worin das dritte bereits enthalten ist. Die Geometrie (=Mathematik) lehrt diese Methoden, die Wahrheit zu beweisen, in vollendeter Weise.

1. Abschnitt: Von der Methode der geometrischen, d. h. der methodischen und vollkommenen Beweise

Die Geometrie ist beinahe die einzige der menschlichen Wissenschaften, die unfehlbare Beweise hervorzubringen vermag. Es gibt allerdings eine höhere, den Menschen unzugängliche Methode, die darin besteht, alle Begriffe zu definieren und alle Behauptungen zu beweisen. Geometrische Definitionen bestehen darin, klar bezeichneten Dingen einen Namen zu geben (z. B. eine Zahl, die in zwei gleiche Teile zerlegt werden kann, nennt man eine gerade Zahl). Dabei kann der Fehler auftreten, verschiedene Dinge gleich zu benennen, doch kann man dem stets dadurch begegnen, dass man in Gedanken die Bezeichnung durch ihre Definition ersetzt.

Die wahrhafte Ordnung, alle Begriffe zu erklären, ist nicht erreichbar, denn die ersten Begriffe müssten zu ihrer Definition frühere voraussetzen, und genauso verhält es sich mit den Behauptungen. Daher können Menschen keine Wissenschaft in absoluter Ordnung durchführen. Die Geometrie erklärt nicht die Begriffe Raum, Zeit, Bewegung, Zahl, Gleichheit oder ähnliche, denn diese sind unmittelbar klar und ein Definitionsversuch führe eher zur Verdunklung als zur weiteren Klärung. Hier besteht ein typischer Fehler darin, ein Wort durch sich selbst zu erklären (z. B. Licht ist eine Leuchtbewegung leuchtender Körper). Man kann daher auch das grundlegende „Sein“ nicht ohne Begehung dieser Absurdität definieren, den eine Erklärung müsste mit „das ist“ beginnen. Es gibt daher undefinierbare Wörter, für die uns die Natur ohne Worte ein klares Verständnis gegeben hat. Pascal führt dies näher am Zeitbegriff aus.

Die Geometrie verwendet selbsterklärende Grundbegriffe wie Raum, Zeit, Bewegung, Gleichheit, Mehrheit, Minderheit, Ganzes und ähnliche und führt alle übrigen Begriffe in vollendeter Weise darauf zurück. Genauso verfährt man mit den Behauptungen, die nur dann bewiesen werden, wenn sie nicht von sich aus evident sind. Pascal stellt fest, dass die Mechanik, Arithmetik und Geometrie ihre eigenen Hauptgegenstände Bewegung, Zahl und Raum nicht definieren können, aber dass sie dennoch die Natur durchdringen und ihre wunderbaren Eigenschaften entdecken. In diesem Zusammenhang zitiert er aus der Bibel „Du aber hast alles nach Maß, Zahl und Gewicht geordnet.“

Die genannten Größen können beliebig hohe Werte annehmen und mittels Division durch große Zahlen auch beliebig kleine Ausmaße haben. All das lässt sich nicht beweisen, aber das liegt nicht in der Dunkelheit der Begriffe, sondern im Gegenteil in ihrer außerordentlichen Klarheit begründet. Auch der Raum hat beliebig kleine Teile. Durch Halbierung eines noch so kleinen Raumteils kann niemals ein unteilbarer Raum entstehen, denn sonst müssten ja die beiden Raumteile, um das Ganze zu bilden, sich berühren. Da sie sich nicht nur in einem Teil berühren können, den sie als unteilbare Raumelemente nicht haben, müssten sie sich überall berühren und wären demnach eins. Als weiteres Argument für die beliebige Teilbarkeit eines Quadrates führt er an, dass ein doppelt so großes Quadrat unmöglich doppelt so viele unteilbare Flächenteile haben kann wie das erste, was er auf der Stelle beweisen könne, wenn es sich lohnte. Des Weiteren führt er die Abbildbarkeit des Firmaments im Glas eines Fernrohrs an und findet es ärgerlich, sich mit einer solchen Bagatelle, dass zwei Nichtse zusammen keine Ausdehnung ergeben können, aufhalten zu müssen.

Nun wendet sich Pascal dem Zahlbegriff zu, der bei Euklid die Einheit, die Zahl 1, ausschließt. Das definiert Euklid so nur aus praktischen Gründen und eine solche Definition ist durchaus statthaft. Dass man auch mit dieser Einheit nichts Unteilbares gefunden hat, begründet er mit den Brüchen und der Festlegung, dass zwei Größen von derselben Gattung seien, wenn man durch Vermehrung der einen die andere übertreffen könne. Demnach sind die Einheit wie auch alle Brüche von derselben Gattung wie alle Zahlen, nur die Null ist wahrhaft unteilbar und von anderer Gattung, da ihre Vermehrung keine anderen Zahlen übertrifft. Die Möglichkeit einer unendlich großen Vermehrung bedingt notwendig auch eine unendliche Teilbarkeit. Nur diejenigen, die diese doppelte Unendlichkeit, das unendliche Anwachsen und die unendliche Annäherung an das Nichts, begreifen, können Größe und Macht der Natur und schließlich sich selbst erkennen.

2. Absatz: Von der Kunst zu überzeugen

Die Kunst des Überzeugens besteht darin, von Menschen Zustimmung zum Vorgetragenen zu erhalten. Von den zwei Eingängen der Meinungen in die Seele, nämlich ihre Hauptkräfte Verstand (entendement) und Willenskraft (volonté), ist der Verstand die natürliche, die Willenskraft aber die gewöhnliche und unwürdige, die von vielen verleugnet wird. Es ist hier nicht die Rede von den göttlichen Wahrheiten, denn diese stehen unendlich hoch über der Natur. Gott hat es so eingerichtet, dass sie vom Herzen in den Geist gelangen und nicht umgekehrt, um die menschliche Vernunft zu demütigen. Die menschlichen Dinge müsse man erkennen, bevor man sie lieben kann, die Heiligen dagegen sagen, dass man die göttlichen Dinge erst lieben müsse, um sie erkennen zu können. Pascal behandelt nur die Wahrheiten in menschlicher Reichweite und führt aus, dass nur wenige dieser Wahrheiten durch den Geist in die Seele treten, sondern vielmehr durch die Launen des Willens ohne den Rat der Vernunft. Die Wahrheiten des Geistes sind natürliche und bekannte Wahrheiten (z. B. das Ganze ist größer als ein Teil) und gewisse Axiome, die die einen annehmen, die anderen hingegen nicht.

Es gibt verschiedene Eigenschaften der Dinge, von denen wir überzeugen wollen. Die einen werden aus den bereits zugegebenen Wahrheiten unfehlbar abgeleitet und finden so ihren sicheren Weg in die Seele. Weiter gibt es Eigenschaften im Zusammenhang mit unserer Befriedigung, die auch mit Gewissheit aufgenommen werden, sobald sie nur der Seele gezeigt werden. Dann gibt es noch diejenigen, die weder zu unseren Meinungen noch zu unseren Freuden passen. Bei diesen muss man auch auf den Menschen achten, den es zu überzeugen gilt, man muss seinen Geist und sein Herz kennen, die anerkannten Prinzipien und die Dinge, die er liebt. Die Kunst zu überzeugen tritt daher neben die Kunst zu gefallen. Auch wenn Letzteres durchaus wichtig und nützlich ist, so soll diese Schrift nur Ersteres behandeln, denn die Freuden eines Menschen sind verschieden und unbeständig, und Pascal gesteht, dieser Aufgabe auch nicht gewachsen zu sein.

Die Kunst zu überzeugen ist damit die Führung eines methodischen Beweises und besteht aus drei Teilen: die verwendeten Begriffe klar zu definieren, zum Beweis evidente Prinzipien oder Axiome aufzustellen und im Geiste stets die Definition an die Stelle des Definierten zu setzen. Es ist augenscheinlich, dass nur so überzeugende Beweise geführt werden können. Zu dieser Methode der „geometrischen“ Beweisführung stellt Pascal drei Gruppen von Regeln auf:

Regeln für die Definitionen: Definiere nichts, das selbst so klar bekannt ist, dass man dazu keine klareren Begriffe hat. Lasse keinen der dunklen oder zweideutigen Begriffe undefiniert. Verwende bei Definitionen nur bekannte oder bereits erklärte Wörter.

Regeln für die Axiome: Stelle bei jedem Axiom sicher, dass es anerkannt wird, wie evident es auch sein mag. Fordere in den Axiomen nur Dinge, die von selbst evident sind.

Regeln für die Beweise: Beweise nichts, das so evident ist, dass man nichts Klareres zum Beweis anführen kann. Beweise dunklere Behauptungen und verwende dazu ausschließlich Axiome oder schon zugegebene oder bewiesene Aussagen. Setze im Geiste an die Stelle der Begriffe stets die Definitionen, um so Mehrdeutigkeiten zu vermeiden.

Von diesen acht Regeln, bei deren Anwendung man sichere und unfehlbare Beweise erhält, führt die Missachtung der jeweils ersten der drei Gruppen nicht zu größeren Fehlern, die fünf anderen Regeln aber sind absolut notwendig und machen die Beweise geometrisch. Dann behandelt Pascal die Regeln der Reihenfolge, in der man die Behauptungen aufzustellen hat. Aber an dieser Stelle scheint ein Teil des Manuskripts verloren zu sein und der Text fährt fort mit den Forderungen, man müsse alle verwendeten Namen definieren und alles beweisen, wobei man alles Definierte durch die Definitionen zu ersetzen habe.

Anschließend gibt Pascal drei mögliche Einwände an, zum einen die Methoden brächten nichts Neues, zum zweiten sie seien sehr einfach und man müsse dazu die Geometrie nicht erlernen, und drittens sie seien unnütz, da ihre Anwendung auf das Gebiet der Geometrie eingeschränkt sei. Zum ersten Einwand beklagt er, dass Begriffsklarheit außerhalb der Geometrie leider nicht die Regel sei, und führt aus, wie verschiedene Menschen über dasselbe Wort verschiedene Auffassung haben können. Den Logikern wirft er vor, die Regeln der Geometrie nur aufs Geratewohl in ihr Regelwerk aufgenommen, aber nicht den Geist der Geometrie erfasst zu haben, und gesteht ihnen nicht zu, die Leitung der Vernunft zu lehren, ja schließt sie sogar davon aus. Nur die geometrischen Regeln führen zum Ziel, alle weiteren Vorschriften sind unnütz und schädlich.