Haversine-Formel
Die Haversine-Formel (seltener auch deutsch Semiversus-Formel) ist eine Gleichung aus der sphärischen Trigonometrie, mit der sich die Großkreisentfernung zwischen zwei Punkten auf einer Kugeloberfläche aus deren Längen- und Breitengraden berechnen lässt. Sie ist in der Navigation von großer Bedeutung und stellt einen Spezialfall des allgemeineren Gesetzes der Haversine dar, das die Seiten und Winkel sphärischer Dreiecke in Beziehung setzt.
Geschichte Frühe Entwicklung Die Haversine-Funktion wurde erstmals 1801 in Navigationstabellen des spanischen Astronomen José de Mendoza y Ríos verwendet, wie der Mathematikhistoriker Florian Cajori dokumentierte.Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Band 2, 3. Auflage. Open Court Publishing Company, Chicago 1952, S. 172. Mendoza y Ríos publizierte verschiedene Tabellen, die die Haversine-Methode (seiner Erfindung) verwendeten, um die Berechnungen der nautischen Astronomie und Navigation zu vereinfachen.José de Mendoza y Ríos: Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares. Imprenta Real, Madrid 1801. Seine Tabellen halfen bei der Berechnung der Längengrade durch Monddistanzen – eine der wichtigsten Navigationsmethoden des 18. und frühen 19. Jahrhunderts.
Die erste bekannte englische Tabelle mit Haversinen wurde 1805 von James Andrew unter dem Namen "Squares of Natural Semi-Chords" veröffentlicht.James Andrew: Astronomical and Nautical Tables. London 1805. Diese Bezeichnung verweist auf die geometrische Bedeutung der Funktion als Quadrat der halben Sehnenlänge.
Namensgebung und Verbreitung Der Begriff "Haversine" wurde 1835 von James Inman in der dritten Ausgabe seines Werkes "Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen" geprägt.James Inman: Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen. 3. Auflage. W. Woodward, C. & J. Rivington, London 1835. Er führte diese neue Tabelle ein, um die Berechnung von Entfernungen zwischen zwei Punkten auf der Erdoberfläche mittels sphärischer Trigonometrie zu vereinfachen. Der Name setzt sich aus "ha" (für "half", englisch für "halb") und "versine" zusammen und bedeutet somit "halber Sinus versus".
James Inman (1776–1859) war ein englischer Mathematiker und Astronom, Professor für Mathematik am Royal Naval College in Portsmouth und Autor der "Inman's Nautical Tables".Oxford Dictionary of National Biography. Oxford University Press, 2004. Seine Einführung der Haversine-Funktion vereinfachte die Formeln der sphärischen Trigonometrie erheblich und seine Tabellen wurden von allen Navigatoren ausgiebig genutzt.
Historische Bedeutung Vor dem Aufkommen von Computern erwies sich die Eliminierung von Divisionen und Multiplikationen mit dem Faktor zwei als so praktisch, dass Tabellen mit Haversine-Werten und Logarithmen in Navigations- und Trigonometrie-Lehrbüchern des 19. und frühen 20. Jahrhunderts enthalten waren.Glen Robert van Brummelen: Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press, 2013, ISBN 978-0-691-14892-2, S. 123–125. Roger Sinnott beschrieb 1984 im Magazin Sky & Telescope ("Virtues of the Haversine"), wie die Haversine-Formel selbst auf einem einfachen TRS-80 Computer in BASIC programmiert werden konnte, um die Winkeldistanz zwischen Sternen genau zu berechnen.R. W. Sinnott: Virtues of the Haversine. In: Sky and Telescope. Band 68, Nr. 2, 1984, S. 159.
Mathematische Grundlagen Die Haversine-Funktion Die Haversine-Funktion ist definiert als:
Die Haversine-Funktion berechnet die halbe Versine des Winkels θ oder das Quadrat der halben Sehnenlänge des Winkels auf einem Einheitskreis (Kugel).Eric W. Weisstein: Haversine. MathWorld. Abgerufen am 9. Januar 2025. Sie ist verwandt mit der älteren Versine-Funktion:
Die Haversine-Formel Für zwei Punkte auf einer Kugel mit den Koordinaten (φ₁, λ₁) und (φ₂, λ₂) – wobei φ den Breitengrad und λ den Längengrad bezeichnet – lautet die Haversine-Formel:Chris Veness: Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points using haversine formula in JavaScript. Movable Type Scripts, 2019.
Dabei ist: d die gesuchte Entfernung r der Radius der Kugel (für die Erde etwa 6371 km) Δφ = φ₂ - φ₁ (Differenz der Breitengrade) Δλ = λ₂ - λ₁ (Differenz der Längengrade)
Das Gesetz der Haversine Für ein "Dreieck" auf der Oberfläche einer Einheitskugel, das durch Großkreise definiert wird, die drei Punkte u, v und w verbinden, besagt das Gesetz der Haversine:Smart, W. M.: Text-Book on Spherical Astronomy. 6. Auflage. Cambridge University Press, Cambridge 1977, ISBN 0-521-29180-1, S. 12–14.
Dabei sind a, b und c die Seitenlängen des sphärischen Dreiecks und C ist der Winkel gegenüber der Seite c.
Numerische Eigenschaften Numerische Stabilität Ein wesentlicher Vorteil der Haversine-Formel ist ihre numerische Stabilität, besonders für kleine Distanzen.B. Hofmann-Wellenhof, H. Lichtenegger, J. Collins: GPS - Theory and Practice. Springer, Wien 2001, ISBN 3-211-83534-2. Da die Haversine-Formel Sinusfunktionen verwendet, vermeidet sie das Problem der Auslöschung, das bei der Verwendung des sphärischen Kosinusgesetzes auftreten kann.
Beim sphärischen Kosinusgesetz kann es bei nahe beieinander liegenden Punkten (z. B. einen Kilometer voneinander entfernt auf der Erde) dazu kommen, dass cos(d/R) = 0,99999999 ergibt, was zu ungenauen Ergebnissen führt.Sinnott, R. W.: Virtues of the Haversine. In: Sky and Telescope. Band 68, Nr. 2, 1984, S. 159. Die Haversine-Formel umgeht dieses Problem durch die Verwendung der Sinusfunktion, die für kleine Winkel numerisch stabiler ist.
Genauigkeitsgrenzen Die Haversine-Formel ist nur eine Näherung, wenn sie auf die Erde angewandt wird, da diese keine perfekte Kugel ist.Snyder, J. P.: Map Projections - A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395. United States Government Printing Office, Washington, D.C. 1987, S. 16–17. Der "Erdradius" R variiert von 6356,752 km an den Polen bis 6378,137 km am Äquator. Noch entscheidender ist, dass der Krümmungsradius einer Nord-Süd-Linie auf der Erdoberfläche an den Polen (≈6399,594 km) 1 % größer ist als am Äquator (≈6335,439 km), was zur Folge hat, dass die Haversine-Formel im Extremfall bis zu 0,5 % vom exakten Wert abweichen kann.Rapp, Richard H.: Geometric Geodesy, Part I. Ohio State University, 1991, S. 18–19.
Genauere Methoden, die die Elliptizität der Erde berücksichtigen, werden durch die Vincenty-Formel und andere Formeln für geographische Distanzen angegeben.
Vergleich mit anderen Methoden Haversine vs. Vincenty Die Haversine-Formel und die Vincenty-Formel sind die zwei am häufigsten verwendeten Methoden zur Distanzberechnung auf der Erdoberfläche:Vincenty, T.: Direct and Inverse Solutions of Geodesics on the Ellipsoid with Application of Nested Equations. In: Survey Review. Band 23, Nr. 176, April 1975, S. 88–93.
Eigenschaft Haversine-Formel Vincenty-Formel Erdmodell Kugel Ellipsoid Genauigkeit ±0,3 % ±0,5 mm Rechenaufwand Einfach, wenig rechenintensiv Komplex, iterativ Numerische Stabilität Sehr gut für alle Distanzen Kann bei antipodalen Punkten versagen Anwendungsbereich Web- und Mobilanwendungen Geodätische Berechnungen
Beispiel: Die Distanz zwischen Pune (Indien) und Sydney (Australien) beträgt mit der Haversine-Formel 6236,243 Meilen und mit der Vincenty-Formel 6231,892 Meilen.GeeksforGeeks: Haversine formula to find distance between two points on a sphere. 2022. Abgerufen am 9. Januar 2025.
Praktische Anwendung Navigation und Verkehr Die Haversine-Formel berechnet die kürzeste Distanz zwischen zwei Punkten auf einer Kugel unter Verwendung ihrer Breiten- und Längengrade entlang der Oberfläche und ist wichtig für die Navigation.Admiralty Manual of Navigation. Band 1. The Stationery Office, 1987, ISBN 978-0-11-771468-7. Sie findet Anwendung in: Luftfahrt: Berechnung von Flugrouten und -distanzen Seefahrt: Bestimmung von Schifffahrtsrouten GPS-Navigation: Routenberechnung in Navigationsgeräten
Geographische Informationssysteme Die Haversine-Formel wird in verschiedenen Bereichen wie Astronomie, Geodäsie und Navigation verwendet.de Smith, M. J., Goodchild, M. F., Longley, P. A.: Geospatial Analysis. 6. Ausgabe. The Winchelsea Press, 2018. Moderne Anwendungen umfassen: Kartenanwendungen und Geodatenanalyse Standortbasierte Dienste Distanzberechnungen in Datenbanken
Implementierung Ein Beispiel für die Implementierung in PHP:Rosetta Code: Haversine formula. Abgerufen am 9. Januar 2025.
<?php function haversine($lat1, $lon1, $lat2, $lon2) { // Radius der Erde in Kilometern $earthRadius = 6371;
// Differenzen in Radiant umrechnen $dLat = deg2rad($lat2 - $lat1); $dLon = deg2rad($lon2 - $lon1);
// Breiten in Radiant umrechnen $lat1 = deg2rad($lat1); $lat2 = deg2rad($lat2);
// Haversine-Formel anwenden $a = sin($dLat / 2) * sin($dLat / 2) + sin($dLon / 2) * sin($dLon / 2) * cos($lat1) * cos($lat2);
$c = 2 * asin(sqrt($a));
// Distanz berechnen return $earthRadius * $c; }
// Beispielverwendung $lat1 = 38.898; // Washington D.C. (Weißes Haus) $lon1 = -77.037; $lat2 = 48.858; // Paris (Eiffelturm) $lon2 = 2.294;
$distance = haversine($lat1, $lon1, $lat2, $lon2); echo "Entfernung: " . round($distance, 2) . " km\n"; ?>
Beispielberechnung Die Haversine-Formel kann verwendet werden, um die ungefähre Entfernung zwischen dem Weißen Haus in Washington, D.C. (Breitengrad 38,898° N, Längengrad 77,037° W) und dem Eiffelturm in Paris (Breitengrad 48,858° N, Längengrad 2,294° E) zu berechnen.U.S. National Geodetic Survey: NGS Coordinate Conversion and Transformation Tool (NCAT). Abgerufen am 9. Januar 2025.
Schrittweise Berechnung: Umrechnung in Radiant Berechnung der Differenzen: Δφ = 0,1737 rad, Δλ = 1,3734 rad Anwendung der Haversine-Formel Ergebnis: d ≈ 6.166 km
Verwandte Funktionen Die Haversine-Funktion gehört zu einer Familie trigonometrischer Funktionen:Abramowitz, M., Stegun, I. A.: Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. Dover, New York 1964, S. 78. Versine: versin(θ) = 1 - cos(θ) = 2·hav(θ) Coversine: coversin(θ) = 1 - sin(θ) = versin(π/2 - θ) Havercosine: havercos(θ) = (1 + cos(θ))/2 Exsekans: exsec(θ) = sec(θ) - 1
Siehe auch Sphärische Trigonometrie Großkreis Geographische Koordinaten Navigation
Literatur James Inman: Navigation and Nautical Astronomy: For the Use of British Seamen. 3. Auflage. W. Woodward, C. & J. Rivington, London 1835. José de Mendoza y Ríos: Memoria sobre algunos métodos nuevos de calcular la longitud por las distancias lunares. Imprenta Real, Madrid 1801. Florian Cajori: A History of Mathematical Notations. Band 2, 3. Auflage. Open Court Publishing Company, Chicago 1952, S. 172. Glen Robert van Brummelen: Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press, 2013, ISBN 978-0-691-14892-2. R. W. Sinnott: Virtues of the Haversine. In: Sky and Telescope. Band 68, Nr. 2, 1984, S. 159.
Weblinks Calculate distance and bearing between two Latitude/Longitude points – Interaktive Implementierung der Haversine-Formel Haversine formula – Implementierungen in verschiedenen Programmiersprachen
Einzelnachweise
Kategorie:Navigation Kategorie:Mathematische Geographie Kategorie:Geodäsie Kategorie:Geolokation