Das Abstraktionsprinzip in der Mengenlehre, auch Komprehensionsschema genannt, besagt, dass eine Klasse dadurch definiert wird, dass eine bestimmte, gemeinsame Eigenschaft der Elemente der Klasse betrachtet wird. Alle anderen Eigenschaften der Elemente sind irrelevant, von ihnen wird 'abstrahiert'. Die Elemente dieser Klasse sind genau die Objekte, die diese bestimmte Eigenschaft erfüllen.
Präzisierung
Die Klasse, die von der Eigenschaft abstrahiert wird, wird mit Hilfe des Klassenbildungsoperators wie folgt notiert: . Dabei stehen die Variablen für Elemente des Grundbereichs, der auch Individuenbereich, Variablenbereich oder Diskursuniversum genannt wird. Als „Eigenschaften“ sind die Formeln der zugrunde liegenden Logik (z. B. Prädikatenlogik, Klassenlogik) erlaubt. Das Abstraktionsprinzip besagt, dass es zu jeder Eigenschaft eine solche Klasse gibtJürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp, Günter Todt: Klassenlogik 1983, S. 85, formal: Abstraktionsprinzip
Beispiele für Klassen, die nach dem Abstraktionsprinzip gebildet werden können: Leere Klasse
Die leere Klasse hat keine Elemente, da immer falsch ist.
Allklasse
Da immer wahr ist, sind alle Objekte des Grundbereichs Elemente von .
Russelsche Klasse
Diese Klasse enthält alle Objekte des Grundbereichs, die sich nicht selbst enthalten.
Problematik Es scheint so, als ob die Klasse widersprüchlich wäre. Mit dem Abstraktionsprinzip für ergibt sich nämlich:
Wird nun durch ersetzt, folgt - ein Widerspruch! Das ist die sogenannte Russellsche Antinomie. Sie führte dazu, dass von Ernst Zermelo und anderen, das Abstraktionsprinzip abgelehnt wurde.Ernst Zermelo: Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre, Mathematische Annalen 65 (1908), S. 261–281 Die aktuelle Lösung der Antinomie: die Ersetzung von durch ist nur zulässig, wenn zu den Objekten gehört, die mit „für alle y ...“ gemeint sind, wenn also im Grundbereich liegt. Die korrekte Ersetzung liefert also:
Daraus folgt:
Die Russellsche Klasse liegt nicht im GrundbereichArnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. 1994, S. 37Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2024, Paradoxien der naiven Mengenlehre, Klassenbildung führt aus dem Grundbereich hinaus! Die Situation ist vergleichbar, mit der Subtraktion auf den natürlichen Zahlen. liegt außerhalb der natürlichen Zahlen, wenn gilt.
Klassen die nicht im Grundbereich liegen werden als echte Klassen bezeichnet, Mengen sind Klassen, die im Grundbereich liegen.Paul R. Helmos: Naive Mengenlehre, 1976
Kompressionsschema Das Abstraktionsprinzip wird auch vielfach „Kompressionsschema“ genannt und rein prädikatenlogisch wie folgt formuliert:z. B.: Martin Ziegler: Mathematische Logik, 2. Auflage, Springer, 2017, S. 57. Kompressionsschema
Für führt das zum Widerspruch. Deshalb werden Einschränkungen an gemacht. Die bekannteste ist die Aussonderung von Ernst Zermelo.Oliver Deisler, Einführung in die Mengenlehre, 2024, Das Aussonderungsschema Aussonderungsschema:
Hier werden durch nur Elemente von ausgesondert, in Klassenschreibweise:
Weiteres Das Abstraktionsprinzip ist in der Neumann-Bernays-Gödel-Mengenlehre ein Axiom, siehe dort unter Komprehensionsschema. Auch in der Morse-Kelley-Mengenlehre ist das Komprehensionsschema ein Axiom.Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2024, Das System MK In der Klassenlogik ermöglicht das Abstraktionsprinzip die Erweiterung der logischen Sprache um die Klassenbildung .
Literatur Oliver Deiser, Einführung in die Mengenlehre, 2024, www.aleph1.info/ Jürgen-Michael Glubrecht, Arnold Oberschelp, Günter Todt: Klassenlogik. Bibliographisches Institut, Mannheim u. a. 1983, ISBN 3-411-01634-5. Arnold Oberschelp: Allgemeine Mengenlehre. BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u. a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
Einzelnachweise
Kategorie:Mengenlehre Kategorie:Mathematische Logik