Die Zwillingssätze von Brun sind zwei Sätze des mathematischen Gebiets der Analytischen Zahlentheorie. Sie gehen zurück auf den norwegischen Mathematiker Viggo Brun und liefern zwei Ungleichungen für gewisse äquidistante Paare von Primzahlen und damit insbesondere für Primzahlzwillinge. Die Beweise beider Sätze lassen sich mit Siebmethoden führen.
Formulierung An die Darstellung von Georg Johann Rieger angelehnt lassen sich die Sätze folgendermaßen formulieren:
Satz I Es existiert eine positive Zahl derart, dass für jede reelle Zahl und jede natürliche Zahl die dazu gehörige Anzahl
stets der Ungleichung
genügt.Dabei wird mit der natürliche Logarithmus bezeichnet und mit die eulersche Phi-Funktion.
Satz IISatz II beruht auf Satz I. Dabei spielt für den Beweis eine Rolle, dass für jedes die Reihe
und insbesondere für die Reihe
konvergent ist. (Vgl. hierzu !)
Es existiert eine positive Zahl derart, dass für jede natürliche Zahl die Ungleichung
besteht.Mit Satz II ist insbesondere gesichert, dass die aus den Kehrwerten aller Primzahlzwillinge gebildete endliche oder unendliche Summe
und folglich auch die brunsche Konstante als reelle Zahlen existieren.Aus Satz II kann jedoch weder eine Bestätigung noch eine Widerlegung der Primzahlzwillingsvermutung geschlussfolgert werden. Angesichts des bekannten Satzes von Euler, wonach
ist, lässt sich lediglich festhalten, dass Primzahlzwillinge wesentlich seltener vorkommen als Primzahlen.
Quellen und Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen und Hinweise
Brun, Zwillingssätze von