In der Mathematik ist der Satz von Castelnuovo und de Franchis ein Lehrsatz aus der komplexen Differentialgeometrie, der eine Bedingung dafür gibt, wann eine algebraische Fläche oder allgemeiner eine Kähler-Mannigfaltigkeit eine holomorphe Abbildung auf eine Riemannsche Fläche besitzt. Er ist nach Guido Castelnuovo und Michele De Franchis benannt.
Satz von Castelnuovo und de Franchis. Sei eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit und seien linear unabhängige holomorphe -Formen. Genau dann, wenn gilt, gibt es eine holomorphe Abbildung mit zusammenhängenden Fasern auf eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht und holomorphe -Formen mit für .
Als unmittelbare Folgerung erhält man, dass es für jede kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit und jeden Cupprodukt-isotropen, mindestens -dimensionalen Unterraumes eine holomorphe Abbildung mit zusammenhängenden Fasern auf eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht gibt, so dass . Wenn maximal isotrop ist, dann ist das Geschlecht von gleich der Dimension von und es gilt .
Eine von Beauville und Siu bewiesene Folgerung besagt, dass es für eine kompakte Kähler-Mannigfaltigkeit und eine ganze Zahl genau dann eine holomorphe Abbildung mit zusammenhängenden Fasern auf Riemannsche Flächen vom Geschlecht gibt, wenn es einen surjektiven Homomorphismus der Fundamentalgruppen gibt, wobei eine Riemannsche Fläche vom Geschlecht bezeichnet.
Literatur
Y.-T. Siu: Strong rigidity for Kähler manifolds and the construction of bounded holomorphic functions. Discrete groups in geometry and analysis, Pap. Hon. G. D. Mostow 60th Birthday, Prog. Math. 67, 124–151 (1987). F. Catanese: Moduli and classification of irregular Kaehler manifolds (and algebraic varieties) with Albanese general type fibrations. Appendix by Arnaud Beauville. Invent. Math. 104, No. 2, 263–289 (1991); Appendix 289 (1991). F. Catanese: Recent results on irregular surfaces and irregular Kaehler manifolds. Geometry and complex variables, Proc. Int. Meet. Occas. 9th Centen. Univ. Bologna, Bologna/Italy 1988, Lect. Notes Pure Appl. Math. 132, 59–88 (1991).
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