Die Lokalzeit eines stochastischen Prozesses ist ein Forschungsgegenstand der stochastischen Analysis. Das Konzept der Lokalzeit ist ein nützliches Hilfsmittel in verschiedenen Fragestellungen. Zum Beispiel soll für gewisse Probleme ermittelt werden, wie viel Zeit ein stochastischer Prozess bis zu einem Zeitpunkt in einer Menge verbringt. In anderen Fällen wird eine verallgemeinerte Itō-Formel gesucht. In diesen Fällen lässt sich die Lokalzeit zu Hilfe nehmen.

Definition Sei die borelsche σ-Algebra, sei ein reellwertiges Semimartingal und . Die Idee der Lokalzeit ist es, die Aufenthaltsintensität von an der Stelle über das durch die quadratische Variation induzierte Maß zu beschreiben. Man betrachtet

Falls dieses Maß bezüglich des Lebesgue-Maßes absolut stetig ist, existiert eine Radon-Nikodym-Dichte , welche die sogenannte Lokalzeit von bei zum Zeitpunkt ist. Die Lokalzeit ist ein stochastisches Feld und wurde von Paul Lévy für die brownsche Bewegung eingeführt.

Ist , so nennt man auch Lokalzeit von im Ursprung.

Für stetige Semimartingale Ist ein stetiges reelwertiges Semimartingal, so ist die Lokalzeit nach Paul Lévy gegeben durch

für alle .

Tanaka's Formel Die zweite Darstellung der Lokalzeit stammt von Tanaka Hiroshi und ergibt sich durch Anwendung der Tanaka-Formel:

für alle , wobei die linkstetige Signumfunktion bezeichnet:

Belegzeitformel Die dritte Darstellung der Lokalzeit ist die sogenannte Belegzeitformel: Für alle beschränkten messbaren Funktionen gilt

Für nicht-stetige Semimartingale Sei ein reelwertiges Semimartingal, welches nicht unbedingt stetig ist, und betrachte die Funktion . Dann liefert die Itô-Meyer-Zerlegung für konvexe Funktionen eine Darstellung der Form

wobei ein stetig wachsender, adaptierter Prozess ist.

Die Lokalzeit von bei ist dann definiert als

Eigenschaften Satz. (Ito-Tanaka-Meyer-Formel) Sei ein stetiges Semimartingal, eine konvexe Funktion, ihre linke Ableitung und die zweite Ableitung im Distributionssinne. Dann gilt

Beispiel

Symmetrische Irrfahrt Betrachte den vorhersagbaren Anteil der Doob-Zerlegung der symmetrische einfache Irrfahrt . Dann ist die Lokalzeit von im Ursprung, wobei die Anzahl der Elemente einer Menge angibt.

Wienerprozess

Betrachte die Funktionen , und . Dann gilt und und die distributionellen zweiten Ableitungen sind und .

Am Beispiel eines Wienerprozesses soll die Lokalzeit in der Punktmenge ermittelt werden. Da eine Lebesgue-Nullmenge ist, sollte die Lösung ein geeigneter Grenzwert der Integralfolge mit sein, wobei die Indikatorfunktion ist. Genauer, setze . Dann ist die Belegzeitfür jede Borelmenge und die Ito-Tanaka-Meyer-Formel

Diese Formel lässt sich als Itō-Formel für unreguläre Funktionen betrachten, hier mit der Wahl , deren erste rechte Ableitung und „zweite“ Ableitung die Delta-Distribution sind.

Literatur

Einzelnachweise

Kategorie:Martingale und Martingaltheorie