Der Satz vom kompakten Graphen () ist ein Lehrsatz des mathematischen Teilgebiets der Topologie, der eine charakteristische Eigenschaft stetiger Abbildungen auf kompakten topologischen Räumen behandelt.
Formulierung Der Satz lässt sich wie folgt formulieren: Gegeben seien die Hausdorffräume und und dabei sei der Raum kompakt. Weiter gegeben sei eine Abbildung mit zugehörigem Graphen .
Dann sind die folgenden Aussagen gleichwertig:
(a) ist stetig. (b) ist eine kompakte Teilmenge des Produktraums .
Hintergrund Der Satz lässt sich auf grundlegende Sätze der Topologie zurückführen.
Hier ist vor allem der Satz von Tychonoff zu erwähnen sowie der sogenannte Satz vom abgeschlossenen Graphen, der folgendes aussagt:
Ist ein topologischer Raum und ein Hausdorffraum und ist hier eine stetige Abbildung, so ist der zugehörige Graph im Produktraum abgeschlossen.Damit verwandt ist der Satz vom abgeschlossenen Graphen in der Funktionalanalysis, dessen Beweis – vgl. etwa Hirzebruch/Scharlau, § 9, S. 38 ff. – ganz ähnlich dem hiesigen geführt werden kann.
Verschärfung Die obige Teilaussage (a) ← (b) lässt sich in folgender Weise verschärfen:
Gegeben seien zwei topologische Räume und und dabei soll sowohl für als auch für gelten, dass jede darin gelegene kompakte Teilmenge abgeschlossen sei.Die genannte Eigenschaft hat insbesondere jeder Hausdorffraum; vgl. Grotemeyer IV, 4, S. 126 ff. Dann gilt: Jede Abbildung , deren Graph eine kompakte Teilmenge des Produktraums darstellt, ist eine abgeschlossene eigentliche Abbildung .Definitionsgemäß ist eine eigentliche Abbildung grundsätzlich stetig.
Quellen und Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen und Hinweise
Kompakter Graph Kategorie:Kompaktheit