rahmenlos|rechts|hochkant=0.9|Parabola nodata
Die Parabola nodata (von „Parabel“ sowie von „Knoten“) ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung in der euklidischen Ebene. Sie gehört zu den fünf divergenten Parabeln von Newton.In der zweibändigen Abhandlung Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven orientiert sich der Autor Gino Loria hinsichtlich der Bezeichnung (und ebenso hinsichtlich der Klassifikation) an Newton. Nach Kuno Fladts Darstellung in der Abhandlung über die Analytische Geometrie spezieller ebener Kurven zählen neben der Parabola nodata zu den newtonschen divergenten Parabeln überdies noch die (sogenannte) Parabola pura, die Parabola campaniformis cum ovali, die Parabola punctata und die Parabola cuspidata.Dem Lehrbuch von Wörle/Kratz/Keil zufolge wird als eingedeutschte Bezeichnung auch Knotenparabel verwandt. Wörtlich übersetzt ist es die verknotete Parabel.
Definitionsgleichung Die Parabola nodata lässt sich in folgender Weise definieren:
Seien drei reelle Konstanten mit und . Dann ist die zugehörige Parabola nodata diejenige Kurve im , deren Punkte die Gleichung
erfüllen.Jeder Punkt der Parabola nodata erfüllt notwendigerweise die Ungleichung .Betrachtet man den Grenzfall zu, so gewinnt man die Kurve
, die Loria zufolge von Newton als Parabola cuspidata bezeichnet wurde. Im Falle hat man also die semikubische (neilsche) Parabel.
Ein Beispiel in Parameterdarstellung Man definiert zunächst die folgende Abbildung:
mit
und .
Dadurch gewinnt man die Parametrisierung der zu gehörigen glatten Kurve
.
Wie man dieser Parametrisierung unmittelbar entnimmt, erfüllen die Punkte die Gleichung
.
Es handelt sich also um eine Parabola nodata.
Wertetabelle + Darstellung einiger Punkte der Parabola nodata rahmenlos|hochkant=1.7|Parabola nodata 0 0 1 −1 2 −2 3 −3
Eigenschaften (1) liegt ganz in der rechten Halbebene
(2) nähert sich für sehr kleine mehr und mehr der Parabel mit an.
(3) ist eine achsensymmetrische ebene Figur und hat die Abszissenachse als Symmetrieachse.
(4) schneidet die Abszissenachse bei , geht also durch die Punkte und . Letzterer ist also ein Doppelpunkt.
(5) Für die Ableitungen gilt:
(6) hat im Ursprung, also für , die Ordinatenachse als Tangente.
(7) besitzt zwei zur Abszissenachse parallele Tangenten für , also in den Punkten und . Diese beiden Punkte bilden demnach die beiden lokalen Extrempunkte von .
(8) wächst über alle Grenzen, denn es gilt und .
(9) Die Teilkurve ist die Randkurve eines symmetrischen Flächenstücks innerhalb der rechten Halbebene, dessen Flächeninhalt sich durch folgende Integralrechnung ergibt:Für eine stückweise glatte geschlossene Jordankurve mit der Parametrisierung hat das von umschlossene Innengebiet den Flächeninhalt . Vgl. Burg / Haf / Wille, S. 26.
.Ein anderes Standardbeispiel gibt Gerd Fischer in seiner Monographie Ebene algebraische Kurven (S. 3–5). Es ist die Kurve , die Fischer zufolge als Newtonscher Knoten bezeichnet wird. Es handelt sich um die Parabola nodata mit . Ihre Parametrisierung ist
mit
und .
Siehe auch Newtonscher Knoten
Quellen und Literatur
Einzelnachweise
Anmerkungen und Hinweise
Kategorie:Kurve (Geometrie)