Ophiuride

rahmenlos|rechts|hochkant=2|Ophiuride, Einleitungsbild

Die Ophiuride (von [gesprochen ] „schlangenschwänzig“ und „Gestalt“) – auch Schlangenschwanzlinie genannt – ist eine kubische Kurve. In impliziter Form lässt sie sich durch folgende Gleichung beschreiben:

Darin sind und die zueinander rechtwinklig stehenden Seiten des sogenannten Rechtwinkelhakens (blau), der die Form und Lage der Ophiuride bestimmt.

Die Kurve wurde 1809 von Diedrich Uhlhorn veröffentlicht. Für ihre zeichnerische Darstellung existieren spezielle Konstruktionsmethoden. Auffällig ist ihre enge Verwandtschaft zu den Rollkurven, insbesondere zu zwei Rollkurven im weiteren Sinne: der Fußpunktkurve einer Parabel sowie der Zissoide des Diokles (siehe Abschnitt Erzeugung).

Die Ophiuride ermöglicht das geometrische Lösen zweier zentraler klassischer Probleme der Antike: Zum einen die Würfelverdoppelung, also die Konstruktion eines Würfels mit doppeltem Volumen eines gegebenen Würfels und zum anderen die Dreiteilung eines Winkels, bei der ein beliebiger Winkel in drei gleiche Teile zerlegt wird. Aufgrund dieser Eigenschaften ist gewährleistet, dass sich mit Hilfe der Ophiuride alle kubischen Gleichungen geometrisch lösen lassen (siehe Abschnitt Lösen kubischer Gleichungen). Hierzu genügen jeweils eine Gerade und ihre Schnittpunkte mit der Kurvenschleife.

Historisches mini|hochkant=0.9|Diedrich Uhlhorn um 1830, Lithografie nach einem Gemälde von Heinrich Christoph Kolbe

Urheber der Kurve ist der Autodidakt Diedrich Uhlhorn (1764–1837). Als Mathematiker ist er nie hervorgetreten. Im weiteren Leben wurde er allerdings als Pionier des Maschinenbaus berühmt. Der Bau seiner Münzpresse (1817) bahnte dem Kniehebelprinzip den Weg. Im Jahr 1809 brachte Uhlhorn ein Buch heraus mit dem Titel „Entdeckungen in der höhern Geometrie“. Darin stellt er zahlreiche höhere Kurven vor, zusätzlich auch Werkzeuge zu deren Erzeugung. Die Ophiuride bildet den Auftakt. Ihre Bezeichnung leitet er her aus dem Altgriechischen: „Schlangenschwanzlinie“.

Erklärtes Ziel bei der Vorstellung dieser Kurve ist es, einen Großteil der antiken Lösungen zu den „Großen Problemen“ (Würfelverdoppelung, Dreiteilung des Winkels) – die berüchtigten Neusis-Konstruktionen – von dem Vorwurf zu befreien, eine Verwirklichung sei hier nur möglich mittels Probieren. Johann Christoph Sturm hatte von „Hin- und Wiederrukken“ eines Lineals gesprochen (1670), Jean-Étienne Montucla erstmals von Herantasten (, 1758). Uhlhorn betont wiederholt:

Die Kurve zeichnet sich zunächst einmal dadurch aus, dass sie in das Umfeld der aus der Antike überlieferten Lösungen eingepasst ist: Auch die Lösungen von Nikomedes basieren auf einer Kurve, der Konchoide. Uhlhorn stellt drei Geräte zur Erzeugung seiner Kurve vor, ausgehend von unterschiedlichen Lösungsansätzen der Antike (Platon, Apollonius und Philo). Dem im Abschnitt Mittels Doppelgnomon abgebildeten Gerät gibt er den Vorzug.

Der Ansatz der Lösung Platon legt einen Rückgriff auf eine Kurve nahe. Das war bereits Thomas Heath aufgefallen. In seiner History of Greek Mathematics (1921) – mehr als 100 Jahre nach Uhlhorn – leitet er die Gleichung einer Ortskurve her. Diese Gleichung stellt die Ophiuride dar. Eine Darstellung der Kurve fehlt hier ebenso wie eine Bezeichnung. Anders bei Wilbur Richard Knorr: Dieser mutmaßt, die Bezeichnung sei erst in der Neuzeit aufgekommen, und er verweist auf das Buch von Uhlhorn. Zu der Kurve selbst meint Knorr, sie könne auf Eudoxus zurückgehen. In der Zissoide des Diokles erkennt er einen Spezialfall der Ophiuride. Eigentlich habe sogar Platon diese Kurve erfinden können. Das Gerät, das diesem zur Lösung des Delischen Problems zugeschrieben wird, lege jedenfalls einen Einsatz als Kurvenplotter nahe: Das erste der Uhlhornschen Zeichengeräte für die Ophiuride wendet eben diesen Ansatz praktisch an.

Definition mini|350px|Ophiuride (rot) und Rechtwinkelhaken mit den Kantenlängen und . mini|500px|Ophiuride, prinzipiell erzeugt mittels Rechtwinkelhaken , zwei Parallelen und der dazu Senkrechten , Animation.

Gegeben sei ein Rechtwinkelhaken mit den kartesischen Koordinaten der Punkte und den frei wählbaren und , den Kantenlängen und sowie mit und .

Der Punkt bewege sich auf der Geraden, die durch verläuft. Die Ophiuride zum Rechtwinkelzug ist dann die Ortslinie des Schnittpunktes der Parallelen zu durch mit der Senkrechten zu in .

Eine Gleichung der Ophiuride leitet Uhlhorn allgemein her: „Bei Uhlhorn sind x und y vertauscht“

Damit würde die Ophiuride, z. B. mit , im Gegensatz zu den betreffenden Darstellungen in den Tabellen, parallel zur y-Achse verlaufen.

Herleitung der Gleichung

Aufgrund der ähnlichen Dreiecke gilt: , oder auch , daraus folgt: . Darüber hinaus gilt: , oder auch , daraus folgt: . Nun ist , oder und , oder . Wegen (siehe oben) ist folglich

Somit gilt: , schließlich umgeformt: .Je nachdem, ob die Kantenlänge des Rechtwinkelhakens bzw. die Kurvenschleife unterhalb der x-Achse (-) oder oberhalb (+) liegt, ist der Term oder . Im Eingangsbeispiel mit führt das auf die Gleichung . Wählt man andererseits und beliebig, erhält man eine Kurvenschar (siehe Abschnitt Würfelverdoppelung) .

Erzeugung Als Fußpunktkurve einer Parabel Gegeben sei eine Parabel , die zugehörige Leitlinie. sei ein beweglicher Punkt auf der Parabel , die zugehörige Tangente. sei ein beliebiger Punkt auf einer Linie, die parallel zur Leitlinie und durch den Scheitel verläuft. Die Ortslinie des Schnittpunkts von mit dem Lot von auf ist dann eine Ophiuride. Ist der Scheitelpunkt der Parabel , so ergibt sich die Zissoide des Diokles.

Konstruktion

Es beginnt mit dem Einzeichnen der Parabel mit Scheitelpunkt , dem Ursprung eines kartesischen Koordinatensystems. Der Kreis mit Radius (entspricht des Koeffizienten der Parabelgleichung ) um Punkt schneidet die -Achse im Brennpunkt und im Punkt . Durch wird die Leitlinie parallel zur -Achse gezogen.

Der bewegliche Punkt wird auf die Parabel gesetzt, anschließend die zugehörige Tangente bestimmt. Hierzu dient ein Kreis mit Radius um den Punkt , generiert wird damit der Schnittpunkt auf der -Achse. Nach dem Ziehen der Tangente durch und setzt man den festen Punkt beliebig auf die -Achse. Eine Senkrechte durch schneidet die Leitlinie in . Im dargestellten Beispiel hat der Rechtwinkelhaken die Längen und . Abschließend zieht man eine, auf die Tangente senkrecht stehende Gerade durch . Schnittpunkt ist , der liegt auf der Ortslinie der Ophiuride.

Wird der Punkt auf der Parabel bewegt (siehe Animation), generiert Punkt den Graphen der Ophiuride mit deren Berührpunkt auf der Parabel. Für den so erzeugten Graphen der Ophiuride gilt die kubische Gleichung:

Als Medianlinie von Kreis und Gerade Gegeben sei ein Kreis und eine Gerade außerhalb. sei ein fester Punkt auf dem Kreis . sei ein beliebiger Punkt auf . Die Strecke sei verlängert bis zum Schnittpunkt mit der Geraden . Die Ortslinie der Mittelpunkte der Strecke ist dann eine Ophiuride. Die Zissoide des Diokles – ein Spezialfall der Ophiuride – ergibt sich hier, wenn der Punkt auf dem Lot vom Zentrum des Kreises auf die Gerade liegt.

mini|hochkant=1.8|Spezialfall: Ophiuride gleich Zissoide des Diokles als Medianlinie von Kreis und Gerade Konstruktion

Für die nebenstehende Darstellung „Ophiuride gleich Zissoide des Diokles …“ setzt man beispielsweise den Kreis mit Radius auf die Koordinaten eines kartesischen Koordinatensystems. Schnittpunkt ist . Nach dem Bestimmen des Punktes wird die zur -Achse parallele Gerade gezogen. Nun wird der Punkt beliebig auf den Kreis gesetzt. Es folgt eine Gerade, die durch und verläuft und dabei den Schnittpunkt generiert. Abschließend wird die Strecke in halbiert. Der so erzeugte Punkt liegt auf der Ortslinie der Ophiuride. Wird der Punkt auf der Geraden bewegt, generiert Punkt den gesuchten Graphen der Ophiuride gleich einer Zissoide des Diokles, darin ist :

Für die darunter stehende Darstellung „Ophiuride von Kreis und Gerade“ setzt man den Kreis beispielsweise auf den Mittelpunkt , damit ist und sowie der Radius . Der Punkt wird mittels Kreisbogen und dem Radius bestimmt und anschließend die zur -Achse parallele Gerade gezogen. Die nächste Gerade verläuft durch und ; sie erzeugt dabei den Schnittpunkt . Abschließend wird die Strecke in halbiert. Der so erzeugte Punkt liegt auf der Ortslinie der Ophiuride. Wird der Punkt auf der Geraden bewegt, generiert Punkt den gesuchten Graphen der Ophiuride von Kreis und Gerade:

Mittels Doppelgnomon Das Gerät besteht aus zwei rechtwinkligen U-förmigen Holzgestellen. Die freien Schenkel des oberen verfügen in Längsrichtung über Aussparungen, in denen die freien Schenkel des unteren beweglich geführt werden. Auf dem Bügel des unteren ist ein Stift angebracht. Ihm genau gegenüber auf dem Bügel des oberen befindet sich ein Schreibstift .

Gegeben sei eine Gerade, die durch verläuft, mit dem Teilpunkt . In sei eine Strecke der Länge abgetragen bis zum Punkt , auf dem Lot in eine Strecke der Länge bis zum Punkt . Das Gerät liegt dann mit seinem Innenbügel im Punkt fest an, gleichzeitig mit dem Außenbügel im Punkt . Der auf dem Außenbügel fixierte Punkt wird über den Stift in der „Rinne“ geführt. Dreht man den Bügel um den Punkt , so bewegt sich der Punkt auf voran. Der Schreibstift zeichnet dann die Kurve auf.

mini|ohne|hochkant=1.2|Uhlhorn, Ophiuridenzirkel

Anwendungen Würfelverdoppelung

Die Kantenlänge des verdoppelten Einheitswürfels lässt sich mit der Ophiuride als Quadratwurzel aus der Ordinate des Schnittpunkts konstruieren. Setzt man und lässt (siehe Abschnitt Definition) die Werte von bis durchlaufen, so wird die Konstruktion von kubischen Wurzeln noch einfacher: Die Seite für die entsprechende Vervielfachung des Einheitswürfels ergibt sich jeweils direkt als Länge auf der Geraden zu .

mini|350px| Würfelverdoppelung, ähnlich Platons mech. MethodeOphiuride mit und generiert Kurvengleichung: mini|265px|Ophiuridenschar mit Vervielfachung des Einheitswürfels

Die Ophiuride als Trisektrix

mini|hochkant=1.2|Bild 1Uhlhorn, Dreiteilung des Winkels

Abschließend stellt Uhlhorn eine Lösung des zweiten der Großen Probleme der Antike mithilfe der Ophiuride vor, der Dreiteilung eines Winkels (Bild 1 rechts). Uhlhorn erklärt: Die zusätzlichen Lösungen zur Dreiteilung des –Winkels gelten für die Winkel und .

Konstruktion

(Bild 2, angepasst an Bild 1; animiert in Bild 3)

Auf einer Geraden wird zunächst der Punkt (entspricht dem Nullpunkt eines kartesischen Koordinatensystems) festgelegt und anschließend die Strecke bestimmt. Es folgen der Halbkreis mit Radius um , Schnittpunkt mit der Geraden ist (der zweite Schnittpunkt ist ohne Bezeichnung). Nun wird die Strecke in halbiert. Das Errichten der Senkrechten, auf in , schließt sich an. Der beispielsweise zu drittelnde Winkel wird mit dem Einzeichnen des Winkelschenkels eingetragen. Dabei ergibt sich auch dessen Supplementwinkel . Mit dem Fällen des Lots ab auf den feststehenden Winkelschenkel ergibt sich der Fußpunkt sowie mit der Sinuswert der Winkel und .

Weiter geht es mit dem Einzeichnen der Ophiuride mithilfe der Gleichung: . Dabei schneidet die Ophiuride die Senkrechte über in den Punkten und . Abschließend zieht man eine Parallele zu durch und eine zweite Parallele durch . Die so erzeugten Schnittpunkte und mit dem Halbkreis liefern die gesuchten Winkel bzw. .

Lösen kubischer Gleichungen

Ophiuride

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