Ein Zahlungsanspruch, auch bedingter Anspruch (nach ), stellt in der Finanzmathematik eine Auszahlungsfunktion eines zugrundeliegenden Basiswertes dar. Es ist ein grundlegender Gegenstand aller finanzmathematischen Modelle.
Definition Ein Zahlungsanspruch auf ein Basiswert ist eine reellwertige Abbildung. Die durch die risikolose Anlage abgezinste Form wird häufig durch dargestellt. Das Bild des Zahlungsanspruches wird Zahlungsprofil genannt.
In einem Marktmodell nennen wir einen nicht-negativen Skalar einen arbitragefreien Preis für den nicht-negativen Zahlungsanspruch , wenn es einen adaptierten Prozess gibt, sodass
für alle
und der erweiterte Markt arbitragefrei ist.
Beispiel Die geläufigsten Beispiele von Zahlungsansprüchen sind Termingeschäfte oder die einfachen () Kauf- und Verkaufsoptionen. Wird der Basiswert eines Zahlungsanspruches gehandelt, so nennt man Letzteren auch Derivat. Es wird jedoch nicht immer der Basiswert gehandelt, z. B. bei Katastrophenanleihen.
Eigenschaften Satz. Jeder erreichbare abgezinste nicht-negative Zahlungsanspruch ist unter jedem Martingalmaß integrierbar, d. h. . Weiter gilt für den Wertprozess einer jeden replizierenden Handelsstrategie, dass gilt.
Folgerung. Der Wertprozess ist ein Martingal unter dem jeweiligen Martingalmaß und zu jedem Zeitpunkt unabhängig vom jeweiligen Martingalmaß, .
Beweisskizze. Sei die replizierende Handelsstrategie für und ihr Wertprozess. Wähle nun und setze . Der Beweis setzt sich aus zwei Schritten zusammen.
Es lässt sich mittels Induktion vom Endzeitpunkt aus zeigen, dass für alle ist ein Martingal unter jedem beliebigen Martingalmaß
Zum Endzeitpunkt gilt dann , was zu beweisen war.
Bemerkung. Der Satz gilt sogar dann, wenn der Basiswert unbeschränkt ist. Es ist hervorzuheben, dass der Wertprozess eindeutig bestimmt ist, obwohl es verschiedene replizierende Handelsstrategien gibt. Man beobachte außerdem, dass die Wahl des Martingalmaßes keinen Einfluss auf den Wertprozess oder den Zahlungsanspruch unter bedingter Erwartung hat. Anders gesagt ist es einerlei mit welchem Maß gemessen wird. Es ändert nichts an den Informationen über den Erwartungswert.
Bemerkung. Der Satz lässt sich als eine schwache Form der Markteffizienz auffassen.
Lemma. impliziert erreichbar.
Numerische Verfahren Zur risikoneutralen Bewertung eines Zahlungsanspruches werden verschiedene Verfahren eingesetzt. Laut Paul Wilmott ist die gängigste die Finite-Differenzen-Methode, danach Monte-Carlo-Simulation und selten eine explizite Formel, wie z. B. die Black-Scholes-Formel. Die auf dem CRR-Modell beruhende Binomialmethode ist in der Praxis effektiv irrelevant.
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Finanzmathematik