In der Analysis (Mathematik) sind Lorentz-Räume, die in den 1950er-Jahren von George G. Lorentz eingeführt wurden,G. Lorentz, „Some new function spaces“, Annals of Mathematics 51 (1950), S. 37–55.G. Lorentz, „On the theory of spaces Λ“, Pacific Journal of Mathematics 1 (1951), S. 411–429. Verallgemeinerungen der bekannteren -Räume.
Die Lorentz-Räume werden mit bezeichnet. Wie die -Räume sind sie durch eine Norm (genauer eine Quasinorm) charakterisiert, die Informationen über die „Größe“ einer Funktion enthält – ähnlich wie die -Norm. Zwei grundlegende qualitative Vorstellungen von „Größe“ einer Funktion sind: Wie hoch ist der Funktionsgraph und wie weit ist er ausgedehnt. Die Lorentz-Normen liefern eine feinere Kontrolle beider Eigenschaften als die -Normen, indem sie das Maß sowohl im Wertebereich () als auch im Definitionsbereich () exponentiell umskalieren. Die Lorentz-Normen sind – ebenso wie die -Normen – invariant unter beliebigen Umordnungen der Funktionswerte.
Definition Der Lorentz-Raum über einem Maßraum besteht aus komplexwertigen messbaren Funktionen auf X, für die folgende Quasinorm endlich ist
wobei und gilt. Ist , so
Für gilt
Üblicherweise setzt man .
Abnehmende Umordnungen Die Quasinorm ist definitionsgemäß invariant unter Umordnungen der Funktionswerte von . Für eine komplexwertige messbare Funktion auf definiert man die absteigende Umordnung durch
wobei die Verteilungsfunktion von ist,
Dabei setzt man konventionsgemäß .
Die Funktionen und sind maßäquivalent, d. h.
wobei das Lebesgue-Maß auf der reellen Achse ist. Die damit verwandte symmetrisch absteigende Umordnung ist ebenfalls maßäquivalent zu und wird durch
definiert.
Für und lauten die Lorentz-Quasinormen
Lorentz-Folgenräume Setzt man (das Zählmaß auf ), so erhält man einen Folgenraum. In diesem Fall verwendet man üblicherweise eine abweichende Notation.
Definition Für (bzw. im komplexen Fall) sei
die p-Norm für und
die ∞-Norm. Mit bezeichne man den Banachraum aller Folgen mit endlicher p-Norm. Sei der Banachraum aller Folgen mit (Norm: ∞-Norm) und der normierte Raum der Folgen mit endlich vielen von Null verschiedenen Gliedern. Diese Räume spielen bei der Definition der Lorentz-Folgenräume eine Rolle.
Sei eine Folge positiver reeller Zahlen mit . Dann definiert man
,
wobei die Menge aller Permutationen von ist. Der Lorentz-Folgenraum ist der Banachraum aller Folgen mit endlicher obiger Norm. Äquivalent kann man als Vervollständigung von bezüglich dieser Norm auffassen.
Eigenschaften Lorentz-Räume verallgemeinern die -Räume wirklich, denn für jedes gilt ; das folgt aus dem Cavalieri-Prinzip. Weiter stimmt mit dem schwachen überein. Lorentz-Räume sind quasi-Banachräume und sind genau dann normierbar, wenn und . Für ist mit einer Norm versehen, doch existiert keine Norm, die zur Quasinorm von äquivalent ist. Ein konkretes Beispiel für das Versagen der Dreiecksungleichung in sind
deren -Quasinormen jeweils eins betragen, während die Quasinorm ihrer Summe gleich vier ist.
Es gilt , sobald . Lorentz-Räume entstehen zudem als reale Interpolationsräume zwischen und .
Hölder-Ungleichung
mit , , und .
Dualraum Sei ein σ-endlicher maß-atomloser Raum. Dann gilt (i) für bzw. ; (ii) für oder ; (iii) für . Hierbei ist für , für und .
Atomzerlegung Für sind äquivalent: (i) . (ii) mit paarweise disjunkten Trägern , Maß , worauf fast überall gilt und . (iii) fast überall, mit und . (iv) mit disjunkten Trägern , , auf denen fast überall gilt, wobei , und . (v) fast überall, wobei .
Beispiele Lorentz-Räume erfassen feineres Integrationsverhalten als klassische -Räume. Dies sieht man an folgenden kritischen Beispielen (alle Maße sind Lebesgue-Maße):
Auf sei .Dann gilt , weil die Verteilung exakt wie skaliert.
Für setze .Dann gilt , während .
Auf definiere .Hier divergiert die -Norm, aber es gilt und .
Die charakteristische Funktion gehört auf zu genau dann, wenn . In bleibt die Norm unabhängig von .
Siehe auch Interpolation Hardy–Littlewood-Ungleichung
Literatur
Anmerkungen
Kategorie:Funktionalanalysis