Die Brownsche Bewegung und die Riemannsche Zeta-Funktion sind zwei zentrale Studienobjekte der Mathematik, welche aus unterschiedlichen Bereichen stammen, der Wahrscheinlichkeitstheorie und der analytischen Zahlentheorie, und auf den ersten Blick nichts gemeinsam haben, doch es existieren tiefgreifende Verbindungen zwischen ihnen. Die Beziehung zwischen stochastischen Prozessen, die aus der brownschen Bewegung hervorgehen, und der Riemannschen Zeta-Funktion zeigen in gewisser Weise intuitiv das stochastische Verhalten, welches der Riemannschen Zetafunktion zugrunde liegt. Eine Darstellung der Riemannschen Zetafunktion in Form von stochastischen Prozesse wird als stochastische Darstellung bezeichnet.
Brownsche Bewegung und die Riemannsche Zeta-Funktion Sei die Riemannsche Zeta-Funktion und die Gamma-Funktion, dann ist die Riemannsche Xi-Funktion definiert als
und sie erfüllt die Funktionalgleichung
Es stellt sich heraus, dass die Momente einer Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsvariable beschreibt
Brownsche Brücke und die Riemannsche Zeta-Funktion 1987 bewiesen Marc Yor und Philippe Biane, dass die Zufallsvariable durch die Differenz zwischen dem Maximum und Minimum einer brownschen Brücke beschrieben werden kann. Eine brownsche Brücke ist eine eindimensionalen brownsche Bewegung mit Bedingung . Konkret bewiesen sie, dass
eine Lösung für die Gleichung
ist. Dies ist aber nicht der einzige Prozess, der dieser Verteilung folgt.
Bessel-Prozess und die Riemannsche Zeta-Funktion Ein Bessel-Prozess der Ordnung ist die euklidische Norm einer -dimensionalen brownschen Bewegung. Der -Prozess ist definiert als
Definiere die Eintrittszeit und sei eine weitere Eintrittzeit eines unabhängigen -Prozess, definiere die Zufallsvariable
dann gilt
Die Verteilung Sei die Radon-Nikodým-Dichte der Verteilung , dann erfüllt die Dichte die Gleichung
für die Theta-Funktion
Eine alternative Parametrisierung liefert
mit expliziter Form
wobei und
Literatur
Einzelnachweise
Kategorie:Stochastik