Der Kern eines lokalkompakten Raumes bezeichnet in der Topologie eine kardinale Invariante eines lokalkompakten Raums und wird mit notiert. Lokalkompakte Räume mit abzählbarem Kern verallgemeinern lokalkompakte σ-kompakte Räume.
Das Konzept wurde von Alexander Archangelski eingeführt.
Kern eines lokalkompakten Raumes Sei lokalkompakter Raum, der hausdorffsch ist. Eine Teilmenge heißt saturiert, wenn sie in abgeschlossen ist und für jede abgeschlossene, nicht-kompakte Teilmenge gilt.
Der Kern ist die kleinste Kardinalzahl , für die es eine Familie von saturierten Teilmengen von gibt, so dass für die Anzahl der saturierten Mengen und gilt. Ein Kern heißt abzählbarer Kern, wenn gilt. Der Kern eines diskreten Raumes ist genau dann abzählbar, wenn abzählbar ist.
Eigenschaften Der Kern jedes lokalkompakten Lindelöf-Raumes ist abzählbar. Sei lokalkompakt mit abzählbaren Kern. Dann ist jede abgeschlossene diskrete Teilmenge H von X abzählbar, das heißt der Extent ist abzählbar. Lokalkompakte Räume mit abzählbaren Kern sind unter einer breiten Menge an Bedingungen σ-kompakt. Eine Teilmenge von heißt kompakt von innen () von , falls jede Teilmenge von , welche in abgeschlossen ist, kompakt ist. Ein lokalkompakter Raum besitzt einen abzählbaren Kern, wenn es eine abzählbare offene Überdeckung von Mengen gibt, die kompakt von innen von sind.
Einzelnachweise
Kategorie:Kompaktheit Kategorie:Mengentheoretische Topologie